MAP（Maximum A Posteriori，最大后验准则）算法

一、意义

训练过程中，UBM通过MAP自适应，可以得到每个说话人的GMM模型。

二、算法示意图

三、算法过程

1. 与EM算法中的E-Step相同

• 已知
  a. $O=\{o_1, o_2, ..., o_T\}$：某一个说话人的矢量特征。
  b. $i$：UBM的某个高斯分量。
  c. $\lambda=\{w_i, u_i, \Sigma_i|i=1, 2, ..., M\}$：UBM的参数，共有M阶高斯分量。
• 目标：计算该矢量特征序列中 每个向量 对于UBM中每个高斯分量的后验概率分布。
• 公式
  $P(i|o_t, \lambda)=\frac{w_ip(o_t|u_i, \Sigma_i)}{\sum_{j=1}^Mw_jp(o_t|u_j, \Sigma_j)}$
• 导出公式
  a. 训练语音 属于第 $i$个高斯分量的帧数（ $T$：训练语音的帧数）
  $n_i=\sum_{t=1}^TP(i|o_t, \lambda)$
  b. $E_i[o]=\frac{1}{n_i}\sum_{t=1}^TP(i|o_t, \lambda)o_t$
  c. $E_i[oo^T]=\frac{1}{n_i}\sum_{t=1}^TP(i|o_t, \lambda)o_to_t^T$

2. 用 $n_i$得到的修正因子更新旧的UBM参数 $\lambda$

• 已知
  a. $\beta_i=\frac{n_i}{n_i+\gamma}$：高斯分量的权重、均值向量、协方差矩阵的修正因子。
  作用：平衡GMM模型的新旧参数。（值越大说明数据越充分，新参数越可信）
  b. $\gamma$：关系因子。
  作用：约束修正因子 $\beta_i$的变化尺度，让所有混合权值和为1。（常取16）
• 更新公式
  a. $\hat{w}_i=[\frac{\beta_in_i}{T}+(1-\beta_i)w_i]\gamma$
  b. $\hat{u}_i=\beta_iE_i[o]+(1-\beta_i)u_i$
  c. $\hat{\Sigma}_i=\beta_iE_i[oo^T]+(1-\beta_i)(\Sigma_i+u_iu_i^T)-\hat{u}_i\hat{u}_i^T$

参考论文：基于GMM-UBM模型的说话人识别系统的第39-40页。