粒子群算法笔记

实质：在定义域随机放置多个变量，不断跳跃，同步寻找最优解。寻找方向受单个粒子与全部粒子的最优位置共同影响。单个粒子按照公式不断迭代寻找当新位置。多个变量聚集在某一点时，该点即是最优解。

控制其搜索速度（步长）的因素有两个，使其兼备全局搜索能力和局部搜索能力，减少错过最优解几率

• 距离自身最优距离
• 距离群体最优距离

状态转移方程：

：代表优化问题在D维空间上的一个解，对应于粒子群中第i个粒子的位置

：代表第i个粒子所经历的所有路程上最优的位置，即其在飞翔过程中离目标函数最优解最近的位置

：代表所有粒子经历过的路程上的最优位置（可以认为是所有个体最优位置当中的最优位置）

：代表粒子i的飞翔速度

参数说明：

1. 粒子数m：一般为20-40。根据实际定义。
2. 惯性因子：一般在0.6-0.75.影响步长（即影响 全局/局部 搜索能力）。
3. 加速常数 c1 ，c2 : 控制速度的影响因素的权重。一般取2左右的值。
4. 常数r1 , r2 :在[0,1]之间随机数。
5. v,x:步长和位移值。

基本粒子群算法

权重 w 为1.

算法改进

https://blog.csdn.net/xuehuafeiwu123/article/details/52299628

线性递减：前期有较高的全局搜索能力以找到合适的种子，后期有较高的开发能力，以加快收敛速度，故惯性权重递减。

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学习因子、惯性权重是改进粒子群算法的关键
更新函数决定了粒子群算法的本质能力。

matlab实现

1. 初始化种群（位置和速度
2. 权重随迭代次数的增加而降低（线性递减
3. 计算粒子适应度，将各个粒子的位置和适应度储存在Pbest中，将Pbest中适应度最优个体的位置和速度储存在Gbest中
4. 根据公式更新粒子的速度和位移
5. 将各个粒子与前一个最优位置比较，如果较好，则将其设置为当前最优位置
6. 比较当前的Pbest与上一周期的Gbest，更新Gbest
7. 达到迭代次数或者达到精度，停止。否则返回第二步

说明：

• 为防止粒子位置超过最大区间，设定界限，在粒子位置与步长进行迭代时，超过边界最值的则设定为最值
• r1,r2为随机数

matlab代码实现(后期改多维也很方便)

%	fitness		目标函数
%	N			粒子数目
%	c1,c2		学习因子	一般取2
%	w			权重
%	M			最大迭代次数	具体看精度要求
%	D			自变量个数/空间维度	由目标函数决定
%	a			上界
%	b			下界
%	Pbest		个体最优位置
%	PVbest		个体最优适应度
%	Gbest		种群最优位置
%	GVbest		种群最优适应度
%	目标函数	

a = -10;
b = 10;
wmax = 0.75;
wmin = 0.25;
vmin = -10;
vmax = 10;
N = 10;
D = 1;
M = 100;
c1 = 2;
c2 = 2;

%初始化种群  
%多维时可以考虑 x = Xmin(i)+(Xmax(i)-Xmin(i))*rand(1,D);
%			  v = Vmin(i)+(Vmax(i)-Vmin(i))*rand(1,D);
for i = 1:N
	for j = 1:D
		x(i,j) = unifrnd(a,b);
		v(i,j) = (vmin+vmax)/2+randn*(vmax-vmin)/(2*2);
		%约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围 故除以2
	end
end
%因速度以定义域中点为中心 成标准正态分布 故需保证所有粒子都在定义域中
for i = 1:N
	for j = 1:D
		if v(i,j) < vmin
			v(i,j) = vmin;
		elseif v(i,j) > vmax
			v(i,j) = vmax;
		end
	end
end
%权重下降
for i = 1:M
	w(i) = wmax - ((wmax-wmin)/M)*i;
end
%初始化粒子适应度
Pbest = x;
PVbest = fitness(x(:,1));
%初始化全局最优
Gbest = Pbest(1);
GVbest = PVbest(1);
for i = 2:N
	if GVbest>PVbest(i)
		Gbest = Pbest(i);
		GVbest = PVbest(i);
	end
end
%迭代开始
for t = 1:M
	for	i = 1:N
		v(i) = w(i)*v(i) + c1*rand*(Pbest(i)-x(i)) +c2*rand*(Gbest-x(i));
		x(i) = x(i) + v(i);
		%边界处理
		index = find(x(i,:)<a | x(i,:)>b);
		x(i,:) = unifrnd(a,b);
		%更新最优粒子 根据实际确定
		if fitness(x(i))< PVbest(i)
			Pbest(i) = x(i);
			PVbest(i) = fitness(x(i));
		end
		if PVbest(i) > GVbest
			Gbest = Pbest(i);
            GVbest = PVbest(i);
        end
     end
     %每代最优值
     Tbest(t) = GVbest;
 end
 
 figure
 plot(Tbest);
 xlable('迭代次数');
 ylable('适应度值');
 title('适应度进化曲线');

%目标函数 因此设定中只有一维，故
function y = fitness(x)
	y = x^2;
end