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时间复杂度的宏观解释：
主要用来衡量算法的好坏。我们写好了一个算法，假设这个算法是正确的，我们如何来衡量这个算法的性能？怎么样去判断这个算法是一个好的算法，还是一个坏的算法，时间复杂度就是其中一个非常重要的指标，这是对于是时间复杂度的宏观上的解释。
常数时间操作：
一个操作如何和数据量没有关系，每次都是固定时间内完成，这样的操作叫做常数操作。比如数组寻址操作，为运算操作，加减乘除操作，比较操作 。
时间复杂度的定义：
时间复杂度是一个算法流程中，常数操作数量（在最差情况下）的指标，常常使用O（n）来表示。集体来说，在常数操作数量的表达式中，只要高阶项，不要低阶项，也不要高阶项的系数，剩下的部分如果记为f（N），那么时间复杂度为O（f（N））。
评价一个算法的好坏，先看时间复杂度的指标，也就是幂，然后再分析不同数据样本下的实际运行时间，也就是常数项
我们举一个例子来说明上述的定义：
以常见的选择排序为例：先解释一下什么是选择排序，假设现在有 n 个数，要对这 n 个数进行排序，如下
①：在0~n-1的位置上寻找最小值，放在0 位置上，这里需要进行n - 1次比较操作，
②：在1~n-1的位置上寻找最小值，放在1 位置上，这里需要进行 n - 2 次比较操作
③：在2~n-1的位置上寻找最小值，放在2的位置上，这里需要进行 n - 3次的比较操作
第n -1 次，最大的元素放置于 n - 1的位置。这就完成了对于n个数的排序操作。
这里我们将n -1次的常数操作累加起来，（n-1）+ （n -2）+ （n - 3）+ ..... + 2 + 1 = （1 + （n - 1））* （n - 1）/ 2 ，按照等差数列的求和公式得到，可以抽象为 a * N ^ 2 + b * N + c 的形式，此时我们不要低阶项，不要高阶项，剩下的部分就是就
f（N）= N^2 ，那么时间复杂度就是 O（ f（N ^2））
再举例子：二分查找的时间复杂度，我们的二分查找是相对于有序的数组而言的，假设我们现在有数组，
number：1,3,4,6,7,10.12
index ：0,1,2,3,4, 5, 6假设我们现在寻找 3 所在的索引，方法①，我们直接遍历数据，每次遍历一个数都进行比较操作，常数时间的操作，在N个数中找到 元素 X 的位置的话，时间复杂度我 O（N）；方法②：每次寻找 0，和 n - 1位置的中间索引 (n / 2) 位置的元素假设为 y，比较 y 和 X 的大小，如果比X大，去右边找，否则去左边找，不断的循环知道找到该元素，或者没有该元素。这里不断的进行二分，N可以被2分多少次呢？ 即 log （N）要进行 log（N）次的比较操作，所以时间复杂度是 log （N）。所以二分查找的时间复杂度是 log （N）。这里如果没有指定以谁为底的时候，默认就是以2 为底的。
再举例子：
一个有序数组A，另一个无序数组B，请打印B中的所有不在A中的数，A数 组长度为N，B数组长度为M。算法流程：先把数组B排序，然后用类似外排的方式打印所有在A中出现的数；
第一步：基于比较的排序最优可以做到O（M * log M），所以将无序的数组排序的时间复杂度为O（M * log M），然后将两个有序的数组排序的过程，可以使用外部排序。外部排序的使用场景是两个已经有序的数组，分别使用两个指针来记录两个数组的index，然后依次顺序比对两个指针指向的元素的值，将其放入到辅助数组中，直到其中一个数组到达最后一个元素。所以外部排序的每次比较操作是常数时间的，那么时间复杂度为O(n)级别的。所以最终，完成该算法的时间复杂度就是：
O（M * log M） + O（N + M）
这里面，我们看出这里有两个样本量， 此时，我们需要根据样本量来化简时间复杂度的表达式。三个例子希望你已经理解了时间复杂度的概念。接下来是时间排序算法的练习：
冒泡排序：
冒泡排序是严格的时间复杂度为O（N^2）的排序算法，实现代码如下：
https://gist.github.com/isea-you/00149e0e996726b63f97f23e290f46e4/revisions 冒泡排序 + 对数器
选择排序：
选择排序也是严格的时间复杂度为O（N^2）的排序算法，实现代码如下：
https://gist.github.com/isea-you/1067554dee4189a257bc28258c82a794/revisions 选择排序 + 对数器
插入排序：
我们来一起分析一下插入排序的时间复杂度，假如数据是1,2,3,4,5，对于冒泡排序和选择排序来说都是严格的O（N^2）的算法，但是对于插入排序来说，是O（N）的算法，因为每次比较之后，直接跳出循环。但是对于5,4,3,2,1这样的数据，插入排序算法的时间复杂度又退化成了O（N^2）的算法。那么我们应该怎么去评估类似这样的算法的时间复杂度的好坏呢？
一律按照最快的情况去评估
实现代码：
https://gist.github.com/isea-you/380e680a35ebee1f6e435c3ae0e3374a/revisions 插入排序 + 对数器
对数器：
对数器主要有三个作用：
①：主要用来评测我们的算法的正确性；
②：找到易于分析的错误案例，来分析我们的算法出错在哪里
③：证明贪心策略的正确和错误
对数器的要点：
①：产生随机样本的产生器
②：写一个绝对正确的方法（通常是易于实现的）
③：大样本测试
详细版本：
0，有一个你想要测的方法a，
1，实现一个绝对正确但是复杂度不好的方法b，
2，实现一个随机样本产生器
3，实现比对的方法
4，把方法a和方法b比对很多次来验证方法a是否正确。
5，如果有一个样本使得比对出错，打印样本分析是哪个方法出 错
6，当样本数量很多时比对测试依然正确，可以确定方法a已经 正确。
具体的例子看上面的排序算法中对数器的写法。
额外空间复杂度：
你这个算法流程在跑的过程中，需要申请多大的空间才能使得这个算法跑下去；
上诉的几个例子中，我们对元数组进行排序的操作，申请的空间就是几个额外的变量而已，比如 int i，int j ，int end 等，所以说额外的空间复杂度是O（1），在比如如果要完成某个算法，我们需要额外申请一个等长度的数组，那么我们的额外空间复杂度就是O（N）。
