KMP学习文章，很好懂的两篇文章
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KMP

一种高效的字符匹配算法

前缀函数定义

给定一个长度为n的字符串 $s$ ，其前缀函数是一个数组 $π$
$π[i]$ 表示其中 $s[0,1,2\cdots i]$ 为既是子串的前缀同时也是该子串的后缀的最长真前缀（proper prefix）长度。真前缀代表即是子串的前缀但不等于子串
例如
$s="a b c a b d a b c"$
$π="000120123"$
求前缀函数代码

vector<int> prefix(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> pi(n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int j = pi[i - 1];
    while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1];
    if (s[i] == s[j]) j++;
    pi[i] = j;
  }
  return pi;
}

重要的是要怎么用的问题了
问题一：给定一个字符串 $t$ 和 $s$ ,问 $s$ 是不是 $t$ 的一个子串
解决：构造成一个字符串 $s+$ ’#’ $+t$ (’#'为没有在字符串 $s$ 和 $t$ 中出现的，丢进去求前前缀和就行啦。
令 $n=s.length()$ 则存在前缀函数等于 $n$ 的就说明 $s$ 是 $t$ 的一个子串

问题二：压缩字符串

给定一个长度为 $n$ 字符串 $s$ ,对其压缩到最短，即把 $s$ 分成 $m$ 份等份相同的字符串，如 $s="abcabcabc"$ 可以压缩为 $"abc"$

令 $k=n-π（n-1)$ 若 $k|n$ 则 $s[0,1,2\cdots k-1]$ 为最短的压缩后的字符串

否则 $s$ 只能压缩成 $s$

问题三：一个字符串中本质不同子串的数目

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ ,计算其本质不同子串的数目

以迭代的办法来求，若知道了当前的本质不同子串的数目，在其末尾加一个字符c后重新计算该数目的办法

构造字符串 $t=s+c$ ,并将其反转~ $t$ ,现在我们的任务变为计算有多少~ $t$ 的前缀未在的其余任何地方出现。如果我们计算了 ~ $t$ 的前缀函数最大值，那么最长的出现在 $s$ 中的前缀其长度为 $π_{max}$ 。自然的，所有更短的前缀也出现了。

因此，当添加了一个新字符后新出现的子串数目为 $|s|+1-π_{max}$ 。

POJ3167

题意：
意思是给你一个 $1-S$ 的序列，然后再给你1-k等级的子序列，问你有多少个符合的子串，并输出各自子串的起始位置，如例子，输入 $N,K,S$ ， $9,6,10$ 然后输入串 $t$ 为 $5 ,6, 2, 10, 10, 7 ,3, 2, 9$ 然后输入子串等级 $s$ 为 $1,4, 4, 3, 2, 1$ ，子串的意思是等级越高数越大，相同等级的数要一样，所以子串可以变成 2 10 10 7 3 2
题解：将原序列 $1--S$ 看成 $S$ 个等级，记录到 $t[i]$ 每个等级的个数,
则两个子串相同的条件就是对于每个字符，比它等级小的字符个数相同且相同字符等级的个数相同即可
由于S才25，所以可以暴力存一下，利用一下前缀和即可判断两个字符等不等价，然后就变成了问题一了。对于’#'处小心处理即可

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define ll long long
#define endl '\n'
const int MX=2e5+7;
using namespace std;
int A[MX],top;
struct node
{
    int pre[26],val;
    void get(){cin>>val;}
}pa[MX],pb[MX];
int pi[MX],K;
bool cmp(node a,node b,int i,int j)
{
    if(i>=K)return false;
    if(j-i-1<K&&j>K)return false;
    int x=b.val,y=a.val,ans=0;
    for(int k=1;k<x;k++)ans+=b.pre[k]-pa[j-i-1].pre[k];
    int res=0;
    for(int k=1;k<y;k++)res+=a.pre[k];
    if(ans!=res)return false;
    ans=b.pre[x]-pa[j-i-1].pre[x];
    res=a.pre[y];
    if(ans!=res)return false;
    return true;
}
void prefix(node *pa, int n) {
  pi[0] = 0;
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int j = pi[i - 1];
    while (j > 0 && !cmp(pa[j],pa[i],j,i)) j = pi[j - 1];
    if (cmp(pa[j],pa[i],j,i)) j++;
    pi[i] = j;
  }
}
int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
  int N,S;
  cin>>N>>K>>S;
  for(int i=0;i<N;i++)pb[i].get();
  for(int i=0;i<K;i++)pa[i].get();
  pa[K].val=30;
  for(int i=K+1,e=0;e<N;e++)pa[i+e]=pb[e];
  memset(pa[0].pre,0,sizeof(pa[0].pre));
  pa[0].pre[pa[0].val]=1;
  for(int i=1;i<=K+N;i++)
  {
      for(int j=1;j<=S;j++)pa[i].pre[j]=pa[i-1].pre[j];
      pa[i].pre[pa[i].val]++;
  }
   prefix(pa,K+N+1);
   for(int i=K+1;i<K+N+1;i++)if(pi[i]==K)A[++top]=i-2*K+1;
   cout<<top<<endl;
   for(int i=1;i<=top;i++)cout<<A[i]<<endl;
}

UVA455

即是问题二了

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int MX=4e2+7;
const int mod=9901;
using namespace std;
int p[MX],k[MX];
ll qpow(ll a,ll b,ll MOD=mod){for(ll ans=1;;a=a*a%MOD,b>>=1){if(b&1)ans=ans*a%MOD;if(!b)return ans;}}
ll inv(ll a,ll MOD=mod){return qpow(a,MOD-2,MOD);}
ll __gcm(ll a,ll b){return a*b/__gcd(a,b);}
vector<int> prefix_function(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> pi(n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int j = pi[i - 1];
    while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1];
    if (s[i] == s[j]) j++;
    pi[i] = j;
  }
  return pi;
}
int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
  string s;
  int t;
  cin>>t;
  while(t--){
  cin>>s;
  int n=s.length();
  vector<int>pi=prefix_function(s);
  int k=n-pi[n-1];
  if(n%k!=0)k=n;
  cout<<k<<endl;
  if(t>=1)cout<<endl;
  }

}

UVA11022

题意：对长度为 $n$ 的字符串(字符串下标从0开始）
区间dp+KMP
设 $dp[i][j]$ 为字符串 $s[i,i+1,i+2\cdots j]$ 压缩后最短的长度
则转态转移为
设 $prefix[i][j]$ 为 $s[i,i+1,i+2,\cdots j]$ 按问题二压缩后的长度
则 $dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]，dp[i][i+prefix[i][j]-1])$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int MX=4e2+7;
const int mod=9901;
using namespace std;
int p[MX],k[MX];
int dp[MX][MX],prefix[MX][MX];
ll qpow(ll a,ll b,ll MOD=mod){for(ll ans=1;;a=a*a%MOD,b>>=1){if(b&1)ans=ans*a%MOD;if(!b)return ans;}}
ll inv(ll a,ll MOD=mod){return qpow(a,MOD-2,MOD);}
ll __gcm(ll a,ll b){return a*b/__gcd(a,b);}
void prefix_function(char*s,int k) {
  int n = strlen(s);
  vector<int> pi(n);
  pi[0]=0;
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int j = pi[i - 1];
    while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1];
    if (s[i] == s[j]) j++;
    pi[i] = j;
  }
  for(int i=0;i<n;i++)
  {
      int m=i+k;
      if((i+1)%(i+1-pi[i])==0)
        prefix[k][m]=i+1-pi[i];
      else prefix[k][m]=i+1;
  }
  return ;
}
int main()
{
  //ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
  char s[100];
  int t;
  while(cin>>s&&s[0]!='*'){
  int n=strlen(s);
  for(int i=0;i<n;i++)
  {
      prefix_function(s+i,i);
  }
  for(int i=0;i<n;i++)dp[i][i]=1;
  for(int len=2;len<=n;len++)
  {
      for(int i=0;i+len<=n;i++)
      {
          int j=i+len-1;
          dp[i][j]=len;
          for(int k=i;k<j;k++)
          {
              dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
          }
          dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][i+prefix[i][j]-1]);
      }
  }
  cout<<dp[0][n-1]<<endl;
  }

}

UVA11452

题解：用KMP找到前两段的末尾部分，也就找到了循环节，则从那开始往后补齐八个字符即可

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int MX=4e2+7;
const int mod=9901;
using namespace std;
int p[MX],k[MX];
int dp[MX][MX],prefix[MX][MX];
ll qpow(ll a,ll b,ll MOD=mod){for(ll ans=1;;a=a*a%MOD,b>>=1){if(b&1)ans=ans*a%MOD;if(!b)return ans;}}
ll inv(ll a,ll MOD=mod){return qpow(a,MOD-2,MOD);}
ll __gcm(ll a,ll b){return a*b/__gcd(a,b);}
vector<int> prefix_function(string s) {
  int n = s.length();
  vector<int> pi(n);
  pi[0]=0;
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int j = pi[i - 1];
    while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1];
    if (s[i] == s[j]) j++;
    pi[i] = j;
  }
  return pi;
}
int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
  //char s[100];
  int t;
  cin>>t;
  string s;
  while(t--){
  cin>>s;
  int n=s.length();
  //cout<<n<<endl;
  vector<int>pi=prefix_function(s);
  int tmp=0;
  //cout<<tmp<<endl;
  for(int i=n-1;i>=0;i--)
  {
      if((i+1)%(i+1-pi[i])==0&&(i+1)/(i+1-pi[i])==2)
      {
          tmp=i;
          break;
      }
  }
  int m=tmp/2+1;
  for(int i=0;i<8;i++)
  {
      cout<<s[(n+i)%m];
  }
    cout<<"..."<<endl;
  }

}

MUH and Cube Walls

对于两个字符串匹配的条件是对于每一个字符，相邻字符差相等即可匹配，然后就变成了问题二了，用KMP搞一下就行了

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int MX=4e5+7;
const int mod=9901;
using namespace std;
ll qpow(ll a,ll b,ll MOD=mod){for(ll ans=1;;a=a*a%MOD,b>>=1){if(b&1)ans=ans*a%MOD;if(!b)return ans;}}
ll inv(ll a,ll MOD=mod){return qpow(a,MOD-2,MOD);}
ll __gcm(ll a,ll b){return a*b/__gcd(a,b);}
int a[MX],b[MX];
void prefix_function(int*s,int w,int n) {
  //int n = s.length();
  vector<int> pi(n);
  pi[0]=0;
  for (int i = 1; i <n; i++) {
    int j = pi[i - 1];
    while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1];
    if (s[i] == s[j]||(j==0&&i!=w)) j++;
    pi[i] = j;
  }
  int ans=0;
 // cout<<w<<" "<<n<<endl;
  for(int i=w+1;i<n;i++)
  {
     // cout<<pi[i]<<endl;
      if(pi[i]==w)ans++;
  }
  cout<<ans<<endl;
  return ;
}
int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
  int n,w;
  cin>>n>>w;
  for(int i=0;i<n;i++)
  {
      cin>>a[i];
  }
  for(int i=0;i<w;i++)
    cin>>b[i];
  b[w]=2e9;
  for(int i=w,e=1;e<=n;e++)
  {
      b[i+e]=a[e-1];
  }
  for(int i=w+n;i>=1;i--)
  {
      if(i==w||i==w+1)continue;
      b[i]=b[i]-b[i-1];
   //   cout<<"i="<<i<<" b="<<b[i]<<endl;
  }
  prefix_function(b,w,w+n+1);
  //cout<<
}

Z～柳

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