设 \(t\) 为 \(m\) 个集合中的元素
在考虑集合个数为 \(1\) 的时候，\(t\) 被加了 \(C_m^1\) 次
在考虑集合个数为 \(2\) 的时候，\(t\) 被减了 \(C_m^2\) 次
在考虑集合个数为 \(3\) 的时候，\(t\) 被加了 \(C_m^3\) 次
...
\(t\) 总共被加了 \(C_m^1-C_m^2+C_m^3-C_m^4+\cdots \pm C_m^m\) 次
（\(m\) 为奇数时为 \(+C_m^m\)，偶数时为 \(-C_m^m\)）
上面的式子可以写成
\[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^m -1 \times (-1)^i C_m^i \\ =&-\sum_{i=1}^m (-1)^i C_m^i \quad \dots(\mathrm{I}) \end{aligned} \]
由二项式定理得
\[ (-1+1)^m=\sum_{i=0}^m (-1)^i \cdot 1^{m-i} \cdot C_m^i=\sum_{i=0}^m (-1)^i C_m^i=1 \]
所以
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\[ (\mathrm{I})=-\left[ (-1+1)^m -C_m^0 \right]=1 \]
所以 \(t\) 被加了 \(1\) 次，所以容斥原理正确