哈夫曼编码效果最优的原因

首先了解几个概念：

1.路径长度

在树中从一个结点到另一个结点所经历的分支构成了这两个结点间的路径上的分支数称为它的路径长度

2．树的路径长度
    　树的路径长度是从树根到树中每一结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。

3．树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree，简记为WPL)
　　结点的权：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数。
　　结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。
　　树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree)：定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和，通常记为： 
                
  其中：
    n表示叶子结点的数目
    wi和li分别表示叶结点ki的权值和根到结点ki之间的路径长度。
    树的带权路径长度亦称为树的代价。

三：用一个例子来理解一下以上概念

【例】给定4个叶子结点a，b，c和d，分别带权7，5，2和4。构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵)，它们的带权路径长度分别为：

        (a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
        (b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46
        (c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35

其中(c)树的WPL最小，可以验证，它就是哈夫曼树。因此哈夫曼树是最优二叉树。

当我们把权值定义为节点出现的概率，如a出现的概率是7/13，b是5/13，此时WPL=7/13*1+5/13*2+2/12*3+4/13*3 就是平均码长。这也就意味着哈夫曼编码的平均码长最小。因此效果最优。