【题解】Codeforces 441D. Valera and Swaps 排列与环的转换

对于一个 $1到n$的排列 $p$，定义 $f(p)$为最少所需的交换次数（不要求相邻），使得 $p_i=i$。

给定长为 $n(3000)$的排列 $p$和 $m(3000)$，问最少需要几次交换，可以使得 $f(p)=m$.

输出字典序最小的方案。

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按如下方法建立 $n$个节点的有向图：如果 $a$位置上的数字是 $b$，就添加一条 $a$指向 $b$的有向边。

这张图有如下性质：

1. 每个节点的入度为 $1$，出度为 $1$，整张图由若干个环组成（可能有自环）。
2. 交换两个位置上的数等价于交换两个节点的出边指向，且：
   1. 如果交换前的两个节点在同一个环中，那么交换后环的个数一定多 $1$。
   2. 如果交换前两个节点不在同一个环中，那么交换后环的个数一定少 $1$。
3. $p_i=i$的排列构成的图由 $n$个自环组成，环的个数是 $n$.
4. 设图中有 $loops$个环，那么 $f(p)=n-loops$，即需要 $n-loops$次操作将所有环都分解成自环。

由以上结论，可以知道最小交换次数就是 $|f(p)-m|$。

1. 如果 $f(p)<m$，需要合并 $m-f(p)$个环，找到前 $m-f(p)$个环的最小元素，依次合并即可。
2. 如果 $f(p)>m$ ，需要拆分 $f(p)-m$个环，从 $1$开始遍历，如果不是自环，就将它与它所属的环中第二小的元素交换。

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困死了，明天再写，这和字符串有什么关系啊。

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使用集合维护每个环的点编号，果断超时。

仔细想想，合并环时，只需要知道前两个环的首个点编号。

拆分环时，只需要知道第一个至少有两个点的环的前两个点编号。

/* LittleFall : Hello! */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; using ll = long long; inline int read();
const int M = 3016, MOD = 1000000007;

int save[M];
int l1p, l2p, lp1, lp2; //前两个环的首个点，第一个至少有两个点的环的前两个点
int deal(int n)
{
	int vis[M]={}, lps = 0;
	l1p = l2p = lp1 = lp2 = 0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) if(!vis[i])
	{
		++lps;
		if(lps==1) l1p = i;
		else if(lps==2) l2p = i;

		vector<int> lp;
		for(int now=i; !vis[now]; now=save[now])
		{
			vis[now] = 1;
			lp.push_back(now);
		}
		if(lp1==0 && lp.size()>=2)
		{
			sort(lp.begin(), lp.end());
			lp1 = lp[0];
			lp2 = lp[1];
		}
	}
	return lps;
}
int main(void)
{
	#ifdef _LITTLEFALL_
	freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif

    int n = read();
    for(int i=1; i<=n; ++i) 
		save[i] = read();

    int need_lp = n-read(), lps = deal(n);

    vector<pair<int,int>> ans;
    while(lps != need_lp) 
    {
    	int a, b;
    	if(lps < need_lp) a = lp1, b = lp2;
    	else a = l1p, b = l2p;

		ans.push_back({a, b});
		swap(save[a],save[b]);

		lps = deal(n);
    }
    printf("%d\n",ans.size() );
    for(auto p:ans)
    	printf("%d %d\n", p.first, p.second );

    return 0;
}

inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}