codeforces 571A Lengthening Sticks 组合数学 插板法

题意

给我们四个数， $a,b,c,l$问：
$a'=a+x_1\quad b'=b+x_2\quad c'=c+x_3\quad x_1+x_2+x_3<=l$且 $a',b',c'$可以组成三角形的方案数

分析

我们发现，直接算方案数，毫无头绪，所以我们可以先算组不成三角形的方案数，用总方案数减去组不成的即为答案

总方案数：
相当于从l个球取出k个球分成三组且每组可以为空
假设不可以为空，那么对于每个k相当于从k-1个空，插入两个板将k个球分割成三组，即： $C_{k-1}^{2}$
现在可以为空，可以理解为有三个空球加入k个球，现在一共k+3个球，然后分成三组非空的：C_{k+2}^{2}

所以最后贡献为： $ans=\sum_{i=0}^{l}C_{i+2}^{2}=C_{l+3}^{3}$

组不成的方案数：
若我们保持让 $\max(a,b,c)$大于等于剩下两个数之和，那这一定是组不成三角形的情况
所以我们依次让 $a,b,c$成为最大值
假设a要成为最大值，且当前a上加了i
我们知道 $d=a+i-b-c$,当且仅当 $b+c$上加的数小于等于 $d$，组不成三角形

最后两个相减即为答案

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T>
void out(T x) { cout << x << endl; }
ll fast_pow(ll a, ll b, ll p) {ll c = 1; while(b) { if(b & 1) c = c * a % p; a = a * a % p; b >>= 1;} return c;}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { if(!b) {x = 1; y = 0; return a; } ll gcd = exgcd(b, a % b, y, x); y-= a / b * x; return gcd; }
ll solve(ll x, ll y, ll z, ll l)
{
    ll ans = 0;
    for(ll i = max(0ll, x + y - z); i <= l; i ++)
    {
        ll zz = min(l - i, z + i - x - y);//l-i为l还可以提供的增长，z+i-x-y为x+y最大可以增长的数值
        ans += (zz + 1) * (zz + 2) / 2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    ll a, b, c, l;
    cin >> a >> b >> c >> l;
    ll ans = (l + 1) * (l + 2) * (l + 3) / 6;
    ans -= solve(a, b, c, l);
    ans -= solve(a, c, b, l);
    ans -= solve(c, b, a, l);
    cout << ans << endl;
}