最短路径
- 典型用途：交通问题。如：城市A到城市B有多条线路，但每条线路的交通费（或所需时间）不同，那么，如何选择一条线路，使总费用（或总时间）最少？
- 问题抽象：在带权有向图中A点（源点）到达B点（终点）的多条路径中，寻找一条各边权值之和最小的路径，即最短路径。
最短路径与最小生成树不同，路径上不一定包含n个顶点
两种常见最短路径问题
Dijkstra（迪杰斯特拉）算法 —— 单源最短路径
算法思想
把图中顶点集合分成两组：
第一组为已求出其最短路径的顶点集合S
第二组为尚未确定最短路径的顶点集合U
- 初始时，S只包含源点，S={v}，U包含除v外的其他顶点；
- 从U中选取一个距离最小的顶点k，把k加入到S中；
- 以k作为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；
- 重复步骤 2、3 直到所有顶点都包含在S中
算法实现
算法流程图
C++代码实现
void ShortestPath_DIJ(AMGraph G, int v0){
// 用Dijkstra算法求有向网G的v0顶点到其余顶点的最短路径
n = G.vexnum; // G 中顶点个数
for(v = 0; v < n; v++){
// n 个顶点依次初始化
S[v] = false; // S 初始为空集
D[v] = G.arcs[v0][v]; // 将v0到各个终点的最短路径长度初始化
if(D[v] < MaxInt) Path[v] = v0; // v0和v之间有弧，将v的前驱置为v0
else Path[v] = -1; // 如果v0和v之间无弧，则将v的前驱置为-1
}
S[v0] = true; // 将v0加入S
D[v0] = 0; // 源点到源点的距离为0
/*―开始主循环，每次求得v0到某个顶点v的最短路径，将v加到S集―*/
for(i = 1; i < n; i++){
// 对其余n-1个顶点，依次进行计算
min = MaxInt;
for(w = 0; w < n; w++)
if(!S[w] && (D[w] < min)){
v = w;
min = D[w]; // 选择一条当前的最短路径，终点为v
}
S[v] = true; // 将v加入S
for(w = 0; w < n; w++) // 更新从v0出发到集合V−S上所有顶点的最短路径长度
if(!S[w] && ((D[v] + G.arcs[v][w]) < D[w])){
D[w] = D[v] + G.arcs[v][w]; // 更新D[w]
Path[w] = v; // 更新w的前驱为v
}
}
}
Floyd（弗洛伊德）算法 —— 所有顶点间的最短路径
每一对顶点之间的最短路径
方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次—— T(n)=O(n³)
方法二：弗洛伊德(Floyd)算法
算法思想：逐个顶点试探法
算法思想
- 初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为∞
- 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值。
- 所有顶点试探完毕，算法结结束
算法实现
typedef int Pathmatirx[MAXVEX][MAXVEX]
typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX]
/*- Floyd算法，求网图G中各顶点v到其余顶点w最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w] -*/
void ShrotestPath_Floyd(MGraph G, Pathmatirx* P, ShortPathTable* D){
int v, w, k;
for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v){
// 初始化D与P
for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w){
(*D)[v][w] = G.matirx[v][w]; // D[v][w]值即为对应点间的权值
(*P)[v][w] = w; // 初始化P
}
}
for(k = 0; k < G.numVertexes; ++k)
for(v = 0; v < G.numVertexes; ++v)
for(w = 0; w < G.numVertexes; ++w)
if((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]){
// 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短
// 将当前两点间权值设为更小的一个
(*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];
(*P)[v][w] = (*P)[v][k]; // 路径设置为经过下标为k的顶点
}
}
