lightOJ 1161 Extreme GCD(素数四元组)[容斥原理]

lightOJ 1161 Extreme GCD(素数四元组)[容斥原理]

链接：lightOJ 1161

题意：给你 $n$个数，选择其中四个数作为一组，使得这一组数的最大GCD为 $1$，问你有多少组？
题解：这里用到容斥原理，先求逆问题，求GCD $>1$的个数，然后用总值减去这个值。首先预处理出来因子包含 $i$的数的个数，用 $num[i]$预存。对于GCD $=i$的个数 $ans[i] = C_{num[i]}^4$，对于预处理因子 $i$的时候， $i$的因子也会被预处理，那么在计算 $i$的因子 $j$的情况时，一定包含了 $i$的情况，所以对求GCD $>1$的个数的问题产生过一次贡献，在求 $j$产生的贡献时，需要将其倍数减去，以免重复计算。例如对于 $i=6,j=3$时， $ans[3] = C_{num[3]}^4 -ans[6]-ans[3*3]-···-ans[3*k]$，逆向递推，求到 $i=2$的时候，即是GCD $>1$的个数，分别存在 $ans[i]$，然后用全部的减去这些值。即递推到 $i=1$的情况(因为每个数都包含因子 $1$，所以 $num[1]=n$)
代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1e4+100;

int num[maxn];

void init_num(int x)
{
    for(int i = 1; i <= x/i;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            if(i*i==x)
            {
                num[i]++;
            }
            else
            {
                num[i]++;
                num[x/i]++;
            }
        }
    }
    return ;
}

LL solve_C(int x)
{
    LL ans = x;
    ans = ans*(ans-1)*(ans-2)*(ans-3)/24;
    return ans;
}
LL ans[maxn];
int main()
{
    int t,cas = 0;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        int n,x;
        int ma = 0;
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 0; i<= 10010; i++)
        {
            num[i] = 0;
            ans[i] = 0;
        }
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d", &x);
            ma = max(ma,x);
            init_num(x);
        }
        for(int i = ma; i>=1;i--)
        {
            if(num[i]>=4)
            {
                ans[i] = solve_C(num[i]);
                for(int j = 2*i; j <= ma;j+=i)
                {
                    ans[i] -= ans[j];
                }
            }
        }
        printf("Case %d: %lld\n", ++cas,ans[1]);
    }



    return 0;
}