2020/2/13
Zhenzhen Zhang, Zhixing Luo, Hu Qin, Andrew Lim, (2019) Exact Algorithms for the Vehicle Routing Problem with Time Windows and Combinatorial Auction. Transportation Science
- https://doi.org/10.1287/trsc.2018.0835
- 这是从通过秦虎老师看到的TS上的一篇论文，提出来VRPTWCA这个新的VRP的变种问题，考虑了允许将部分需求外包给第三方物流公司3PL的情况。实际的意义在于，例如顺丰是有部分自有车辆的，自有车辆的优点是，方便管理，稳定可靠，但是如果运输任务不足，成本会比较高。而第三方车辆通过平台竞价，获得某班次的运输任务，灵活自由，可以弥补货运任务的波动带来的不确定性。但是第三方车辆通常难以管理约束，经常出现晚到，违约的情况，且车型不一，较难管理。因此最简单的办法就是把货运需求分割：
- 总货运需求D = 基本稳定货运需求A + 浮动峰值货运需求B ，其中自有车辆负责A，第三方车辆负责B。当然，什么样的比例需要根据实际情况去区分，且自有车辆闲暇时也可接其他货运需求。但是还是一句话，业务货量足够多，就不怕多投资，开源节流，开源最重要。
问题分析
- 这个问题的场景在于，部分客户点，直接外包给3PL，这样的话，自有车辆的路径规划就是简单的VRP了。但是显而易见，这样就增加了许多决策变量：将哪些客户点外包给3PL。当然，以什么样的价格，外包给哪家3PL，都可以成为决策。而OR问题的基本准则是，找到合适的决策变量，满足约束，实现目标。而将部分决策固定下来，作为parameters输入值，就会将问题简化，便于处理。
- 可以复盘，哪天领导给了你一个简单的VRPTW求解，共50个点，你觉得太简单了。但是，其实领导已经将其他550个点外包出去了。你想知道他怎么决策的，为啥就把那550个点外包了。因为昨晚他喝得挺爽，就这么决定了，毕竟咱们自己的车队也就能处理50个点左右。这时你主动请缨，为领导分忧解难，说，让我来，我能解决在各公司给的报价下，咱们自个车辆运输哪50个点的问题，这样就不用喝酒了，用数据说话，量化指标。这就是本文的重要价值。拓展了，困难了，但也变强了。
模型分析
- 文章建立 arc-flow和set-partitioning两个模型，模型倒没啥特别的，主要在于，部分客户点用Yu决策变量执行，u是一个bid，包括a set of customers,和一个price Pu，每个客户点要么被自有车辆访问，要么被外包出去。当然，外包方案中也存在相互冲突，每个客户点只能访问一次。
- 这个问题挺好，用另一种思考方式就很好理解，如果每个bid只能包含一个客户点，有一个成本，就可以看做，允许部分点我不服务，不服务的点有一个惩罚成本，使得整个的成本最低。与VRP with profit挺像的，都是允许customers的selection。不同之处在于，3PL自己也根据多个点的特征，提出了group报价。这个group报价一般比单个报价要便宜，规模经济呗。挺好的，很有意思。
- 这个模型与航班恢复里也很像，客户点要么被route执行，要么cancel，但是这里还有个cancel组合的概念，成本不一。
- 因此很容易想到，上列生成。使用Branch&Price&Cut就更好了，更快更强。
Valid Inequalities 有效不等式
- 有效不等式用来放入主问题模型，作为cut切割解空间，加速模型求解。这些cut作为约束，通过dual price传递给子问题。
- k-path inequalities
- subset S in N ks = the minimum number of vehicles required to serve all the customers in S
- 其实就是，一组客户点，至少要几辆车才能服务完。通常由容量决定，时间窗与他们之间的距离也会影响
- Capacity Inequalities
算法求解之Branch-Price-Cut
Initial Feasible Solution
- 好的初始解，可以加快算例求解，在最好的情况下，初始解==最优解，一次直接全垒打。
- 设计了一个backtracking heuristic算法生产初始解。先将bids按客户数量从高到低排列，贪婪得选择尽可能多的compatible的bids，这样就将客户点规模缩小了很多，剩下的点就按照简单的VRPTW生成路径，使用*Potvin and Rousseau(1993)*的 regret insertion继续求解。
Pricing Problem
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求解子问题的第一步是先把 子问题的目标函数写出来，也就是路径成+各个约束的dual value
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此处得到的子问题是ESPPRC 不可重复的带资源最短路问题
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这里选择的算法还是 Label-Setting Algorithm
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The label-setting algorithm is a type of dynamic programming algorithm that enumerates all nondominated routes by state propagation.
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A state is a partial route from node 0 to any node i in V`,represented by a label Li = (Ci *reduced cost) (Ti earliest time) (Di accumulated demand) (Mi,s the numer of nodes in S that have been visited by
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下面是一些加速方法
- t bounded bidirectional search, which divides the extension of the label-setting algorithm into the forward extension and the backward extension according to a chosen critical resource.双向标号法
- ng-route relaxation
- q-route relaxation
Tabu Search Column Generator
- 只要能迅速找到reduced cost为负的route，不论用什么方法都行。因为标号法还是太费时间了。
- 所以采用heuristic去搜索是可行的，因此文章使用了基于禁忌搜索的column生成模块
In the literature, one common way to speed up the convergence of column generation is to use a heuristic to find columns with negative reduced cost first,and to invoke the label-setting algorithm only after the heuristic fails (Desaulniers, Lessard, and Hadjar 2008;
Archetti, Bouchard, and Desaulniers 2011; Luo, Qin,and Lim 2014).
- 在feasibility test这块，还是采用了Vidal大神的segment-based 的方法，比较是O(1)的时间
Cutting Separation Algorithms
- 这部分是Cut里面的核心，如何生成新的cut constraints，通常也是使用启发式算法
