储能表[SDOI2016]

【题目描述】
有一个 \(n\) 行 \(m\) 列的表格，行从 \(0\) 到 \(n-1\) 编号，列从 \(0\) 到 \(m-1\) 编号。
每个格子都储存着能量。最初，第 \(i\) 行第 \(j\) 列的格子储存着 \((i\ \text{xor}\ j)\) 点能量。所以，整个表格储存的总能量是:

\(\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=0}^{m-1}(i\ \text{xor}\ j)\)

随着时间的推移，格子中的能量会渐渐减少。一个时间单位后，每个格子中的能量都会减少 \(1\)。显然，一个格子的能量减少到 \(0\) 之后就不会再减少了。
也就是说，\(k\) 个时间单位后，整个表格储存的总能量是：

\(\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=0}^{m-1}max((i\ xor\ j)-k,0)\)

给出一个表格，求 \(k\) 个时间单位后它储存的总能量。
由于总能量可能较大，输出时对 \(p\) 取模。

题解

先把原式拆开 原式=所有满足(i^j)>k 的(i^j)之和 - 所有满足(i^j)>k 的数对(i,j)的数量 * k

可以使用数位DP来求解有多少对(i,j)满足(i^j)>k 以及 它们的(i^j)之和是多少

具体做法就是记忆化搜索 记录\(limn, limm, limk\)分别表示当前枚举二进制前\(i\)位，是否卡满\(n,m\)上界以及\(k\)下界

这个东西我也不知道怎么讲清楚 不是数位DP的基本套路吗

我用了个pair来存DP答案 first存的是有多少对满足条件 second存的是满足条件的(i^j)之和

注意取模

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pii;

inline ll read() {
    ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    for (; ch > '9' || ch < '0'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
    for (; ch <= '9' && ch >= '0'; ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ '0');
    return x * f;
}

ll t, n, m, k, mod, mx;
pii dp[105][2][2][2], ans;
bool vis[105][2][2][2];

inline ll getl(ll x) {
    ll ret = 0;
    while (x) ret++, x >>= 1;
    return ret;
}

pii dfs(ll d, bool limn, bool limm, bool limk) {
    if (d > mx) return mp(1, 0);
    if (vis[d][limn][limm][limk]) return dp[d][limn][limm][limk];
    ll N = (n>>(mx-d)) & 1, M = (m>>(mx-d)) & 1, K = (k>>(mx-d)) & 1;
    for (ll i = 0; i <= (limn ? N : 1); i++) {
        for (ll j = 0; j <= (limm ? M : 1); j++) {
            if (limk && (i^j) < K) continue;
            pii res = dfs(d+1, limn&&(i==N), limm&&(j==M), limk&&((i^j)==K));
            dp[d][limn][limm][limk].first = (dp[d][limn][limm][limk].first + res.first) % mod;
            dp[d][limn][limm][limk].second = (((dp[d][limn][limm][limk].second + res.second) % mod) + (1ll << (mx - d)) * (i^j) % mod * res.first % mod) % mod;
        }
    }
    vis[d][limn][limm][limk] = true;
    return dp[d][limn][limm][limk];
}

int main() {
    t = read(); 
    while (t--) {
        n = read(); m = read(); k = read(); mod = read(); 
        n--, m--;
        memset(dp, 0, sizeof(dp)); memset(vis, 0, sizeof(vis));
        mx = max(max(getl(n), getl(m)), getl(k));
        ans = dfs(1, 1, 1, 1);
        printf("%lld\n", (ans.second - k % mod * ans.first % mod + mod) % mod);
    }
    return 0;
}