由于工作需要，开始学习推荐算法，参考【极客时间】->【刑无刀大牛】的【推荐系统三十六式】，学习并整理。
4 原理篇之矩阵分解
评分预测问题只是很典型，其实并不大众，毕竟在实际的应用中，评分数据很难收集到，属于典型的精英问题；与之相对的另一类问题行为预测，才是平民级推荐问题，处处可见。
4.1 矩阵分解
4.1.1 为什么要矩阵分解
近邻模型的问题：
1. 物品之间存在相关性，信息量并不随着向量维度增加而线性增加；
2. 矩阵元素稀疏，计算结果不稳定，增减一个向量维度，导致近邻结果差异很大的情况存在。
上述两个问题，在矩阵分解中可以得到解决。矩阵分解，直观上说来简单，就是把原来的大矩阵，近似分解成两个小矩阵的乘积，在实际推荐计算时不再使用大矩阵，而是使用分解得到的两个小矩阵。
具体说来就是，假设用户物品的评分矩阵 A 是 m 乘以 n 维，即一共有 m 个用户，n 个物品。我们选一个很小的数 k，这个 k 比 m 和 n 都小很多，比如小两个数量级这样，通过一套算法得到两个矩阵 U 和 V，矩阵 U 的维度是 m 乘以 k，矩阵 V 的维度是 n 乘以 k。要求就是通过下面这个公式复原矩阵 A： 
类似这样的计算过程就是矩阵分解，还有一个更常见的名字叫做 SVD；但是，SVD 和矩阵分解不能划等号，因为除了 SVD 还有一些别的矩阵分解方法。
1、基础的SVD算法
值得一说的是，SVD 全称奇异值分解，属于线性代数的知识 ; 然而在推荐算法中实际上使用的并不是正统的奇异值分解，而是一个伪奇异值分解（具体伪在哪不是本文的重点）。今天我介绍的 SVD 是由 Netflix Prize 中取得骄人成绩的 Yehuda Koren 提出的矩阵分解推荐算法。
矩阵分解，就是把用户和物品都映射到一个 k 维空间中，这个 k 维空间不是我们直接看得到的，也不一定具有非常好的可解释性，每一个维度也没有名字，所以常常叫做隐因子，代表藏在直观的矩阵数据下面的。
每一个物品都得到一个向量 q，每一个用户也得到一个向量 p。对于物品，与它对应的向量 q 中的元素，有正有负，代表着这个物品背后暗藏的一些用户关注的因素。
对于用户，与它对应的向量 p 中的元素，也有正有负，代表这个用户在若干因素上的偏好。物品被关注的因素，和用户偏好的因素，它们的数量和意义是一致的，就是我们在矩阵分解之处人为指定的 k。
举个例子，用户 u 的向量是 pu，物品 i 的向量是 qi，那么，要计算物品 i 推荐给用户 u 的推荐分数，直接计算点积即可：
这是一个机器学习问题。按照机器学习框架，一般就是考虑两个核心要素：损失函数；优化算法。
SVD 的损失函数是这样定义的：
这个损失函数由两部分构成，加号前一部分控制着模型的偏差，加号后一部分控制着模型的方差。前一部分就是：用分解后的矩阵预测分数，要和实际的用户评分之间误差越小越好。后一部分就是：得到的隐因子向量要越简单越好，以控制这个模型的方差，换句话说，让它在真正执行推荐任务时发挥要稳定。这部分的概念对应机器学习中的过拟合，有兴趣可以深入了解。
整个 SVD 的学习过程就是：
1. 准备好用户物品的评分矩阵，每一条评分数据看做一条训练样本；
2. 给分解后的 U 矩阵和 V 矩阵随机初始化元素值；
3. 用 U 和 V 计算预测后的分数；
4. 计算预测的分数和实际的分数误差；
5. 按照梯度下降的方向更新 U 和 V 中的元素值；重复步骤 3 到 5，直到达到停止条件。
过程中提到的梯度下降是优化算法的一种，想深入了解可以参见任何一本机器学习的专著。得到分解后的矩阵之后，实质上就是得到了每个用户和每个物品的隐因子向量，拿着这个向量再做推荐计算就简单了，哪里不会点哪里，意思就是拿着物品和用户两个向量，计算点积就是推荐分数了。
2、 增加偏置信息
现在来多考虑一下实际情况，试想一下：有一些用户会给出偏高的评分，比如标准宽松的用户；有一些物品也会收到偏高的评分，比如一些目标观众为铁粉的电影，甚至有可能整个平台的全局评分就偏高。
所以，原装的 SVD 就有了第一个变种：把偏置信息抽出来的 SVD。一个用户给一个物品的评分会由四部分相加：
从左至右分别代表：全局平均分、物品的评分偏置、用户评分的偏置、用户和物品之间的兴趣偏好。
针对前面三项偏置分数，我在这里举个例子，假如一个电影评分网站全局平均分是 3 分，《肖申克的救赎》的平均分比全局平均分要高 1 分。你是一个对电影非常严格的人，你一般打分比平均分都要低 0.5，所以前三项从左到右分别就是 3，1，-0.5。如果简单的就靠这三项，也可以给计算出一个你会给《肖申克的救赎》打的分数，就是 3.5。
增加了偏置信息的 SVD 模型目标函数稍有改变：
和基本的 SVD 相比，要想学习两个参数：用户偏置和物品偏置。学习的算法还是一样的。
3、增加历史行为
探讨完增加偏执信息的 SVD 后，接着你再思考一个问题：有的用户评分比较少。事实上这很常见，相比沉默的大多数，主动点评电影或者美食的用户是少数。
换句话说，显式反馈比隐式反馈少，那么能不能利用隐式反馈来弥补这一点呢？另外，再考虑多一点，对于用户的个人属性，比如性别等，是不是也可以加入到模型中来弥补冷启动的不足呢？
是的，都是可以的，在 SVD 中结合用户的隐式反馈行为和属性，这套模型叫做 SVD++。
先说隐式反馈怎么加入，方法是：除了假设评分矩阵中的物品有一个隐因子向量外，用户有过行为的物品集合也都有一个隐因子向量，维度是一样的。把用户操作过的物品隐因子向量加起来，用来表达用户的兴趣偏好。
类似的，用户属性，全都转换成 0-1 型的特征后，对每一个特征也假设都存在一个同样维度的隐因子向量，一个用户的所有属性对应的隐因子向量相加，也代表了他的一些偏好。
综合两者，SVD++ 的目标函数中，只需要把推荐分数预测部分稍作修改，原来的用户向量那部分增加了隐式反馈向量和用户属性向量：
学习算法依然不变，只是要学习的参数多了两个向量：x 和 y。一个是隐式反馈的物品向量，另一个用户属性的向量。这样一来，在用户没有评分时，也可以用他的隐式反馈和属性做出一定的预测。
4、考虑时间因素
人善变，环境善变，等等。
这是常态，因此，在 SVD 中考虑时间因素也变得顺理成章。在 SVD 中考虑时间因素，有几种做法：
1. 对评分按照时间加权，让久远的评分更趋近平均值；
2. 对评分时间划分区间，不同的时间区间内分别学习出隐因子向量，使用时按照区间使用对应的隐因子向量来计算；
3. 对特殊的期间，如节日、周末等训练对应的隐因子向量。
4.2 回溯矩阵分解
矩阵分解要将用户物品评分矩阵分解成两个小矩阵，一个矩阵是代表用户偏好的用户隐因子向量组成，另一个矩阵是代表物品语义主题的隐因子向量组成。
这两个小矩阵相乘后得到的矩阵，维度和原来的用户物品评分矩阵一模一样。比如原来矩阵维度是 m x n，其中 m 是用户数量，n 是物品数量，再假如分解后的隐因子向量是 k 个，那么用户隐因子向量组成的矩阵就是 m x k，物品隐因子向量组成的矩阵就是 n x k。
得到的这两个矩阵有这么几个特点：
1. 每个用户对应一个 k 维向量，每个物品也对应一个 k 维向量，就是所谓的隐因子向量，因为是无中生有变出来的，所以叫做“隐因子”；
2. 两个矩阵相乘后，就得到了任何一个用户对任何一个物品的预测评分，具体这个评分靠不靠谱，那就是看功夫了。
按照机器学习的套路，就是使用优化算法求解下面这个损失函数：
这个公式依然由两部分构成：加号左边是误差平方和，加号右边是分解后参数的平方。
这种模式可以套在几乎所有的机器学习训练中：就是一个负责衡量模型准不准，另一个负责衡量模型稳不稳定。行话是这样说的：一个衡量模型的偏差，一个衡量模型的方差。偏差大的模型欠拟合，方差大的模型过拟合。
有了这个目标函数后，就要用到优化算法找到能使它最小的参数。优化方法常用的选择有两个，一个是随机梯度下降（SGD），另一个是交替最小二乘（ALS）。
4.2.1 交替最小二乘原理 (ALS)
在实际应用中，交替最小二乘更常用一些，这也是社交巨头 Facebook 在他们的推荐系统中选择的主要矩阵分解方法。
交替最小二乘的核心是交替，什么意思呢？你的任务是找到两个矩阵 P 和 Q，让它们相乘后约等于原矩阵 R：
难就难在，P 和 Q 两个都是未知的，如果知道其中一个的话，就可以按照线性代数标准解法求得，比如如果知道了 Q，那么 P 就可以这样算：
交替最小二乘通过迭代的方式解决了这个鸡生蛋蛋生鸡的难题：
1. 初始化随机矩阵 Q 里面的元素值；
2. 把 Q 矩阵当做已知的，直接用线性代数的方法求得矩阵 P；
3. 得到了矩阵 P 后，把 P 当做已知的，故技重施，回去求解矩阵 Q；
4. 上面两个过程交替进行，一直到误差可以接受为止。
交替最小二乘有这么几个好处：
1. 在交替的其中一步，也就是假设已知其中一个矩阵求解另一个时，要优化的参数是很容易并行化的；
2. 在不那么稀疏的数据集合上，交替最小二乘通常比随机梯度下降要更快地得到结果，事实上这一点就是我马上要说的，也就是关于隐式反馈的内容。
4.2.2 隐式反馈
矩阵分解算法，是为解决评分预测问题而生的，比如说，预测用户会给商品打几颗星，然后把用户可能打高星的商品推荐给用户，然而事实上却是，用户首先必须先去浏览商品，然后是购买，最后才可能打分。
相比“预测用户会打多少分”，“预测用户会不会去浏览”更加有意义，而且，用户浏览数据远远多于打分评价数据。也就是说，实际上推荐系统关注的是预测行为，行为也就是一再强调的隐式反馈。
那如何从解决评分预测问题转向解决预测行为上来呢？这就是另一类问题了，行话叫做 One-Class。
这是什么意思呢？如果把预测用户行为看成一个二分类问题，猜用户会不会做某件事，但实际上收集到的数据只有明确的一类：用户干了某件事，而用户明确“不干”某件事的数据却没有明确表达。所以这就是 One-Class 的由来，One-Class 数据也是隐式反馈的通常特点。
对隐式反馈的矩阵分解，需要将交替最小二乘做一些改进，改进后的算法叫做加权交替最小二乘：Weighted-ALS。
这个加权要从哪说起？用户对物品的隐式反馈，通常是可以多次的，你有心心念念的衣服或者电子产品，但是刚刚剁完手的你正在吃土买不起，只能每天去看一眼。
这样一来，后台就记录了你查看过这件商品多少次，查看次数越多，就代表你越喜欢这个。也就是说，行为的次数是对行为的置信度反应，也就是所谓的加权。
加权交替最小二乘这样对待隐式反馈：
1. 如果用户对物品无隐式反馈则认为评分是 0；
2. 如果用户对物品有至少一次隐式反馈则认为评分是 1，次数作为该评分的置信度。
那现在的目标函数在原来的基础上变成这样：
多出来的 Cui 就是置信度，在计算误差时考虑反馈次数，次数越多，就越可信。置信度一般也不是直接等于反馈次数，根据一些经验，置信度 Cui 这样计算： 
其中阿尔法是一个超参数，需要调教，默认值取 40 可以得到差不多的效果，C 就是次数了。
这里又引出另一个问题，那些没有反馈的缺失值，就是在我们的设定下，取值为 0 的评分就非常多，有两个原因导致在实际使用时要注意这个问题：
1. 本身隐式反馈就只有正类别是确定的，负类别是我们假设的，你要知道，One-Class 并不是随便起的名字；
2. 这会导致正负类别样本非常不平衡，严重倾斜到 0 评分这边。
因此，不能一股脑儿使用所有的缺失值作为负类别，矩阵分解的初心就是要填充这些值，如果都假设他们为 0 了，那就忘记初心了。应对这个问题的做法就是负样本采样：挑一部分缺失值作为负类别样本即可。挑选方法：
1. 随机均匀采样和正类别一样多；
2. 按照物品的热门程度采样。
请允许我直接说结论，第一种不是很靠谱，第二种在实践中经过了检验。
还是回到初心来，你想一想，在理想情况下，什么样的样本最适合做负样本？就是展示给用户了，他也知道这个物品的存在了，但就是没有对其作出任何反馈。问题就是很多时候不知道到底是用户没有意识到物品的存在呢，还是知道物品的存在而不感兴趣呢？
因此按照物品热门程度采样的思想就是：一个越热门的物品，用户越可能知道它的存在。那这种情况下，用户还没对它有反馈就表明：这很可能就是真正的负样本。
按照热门程度采样来构建负样本，在实际中是一个很常用的技巧，我之前和你提到的文本算法 Word2Vec 学习过程，也用到了类似的负样本采样技巧。
4.2.3 推荐计算
在得到了分解后的矩阵后，相当于每个用户得到了隐因子向量，这是一个稠密向量，用于代表他的兴趣。同时每个物品也得到了一个稠密向量，代表它的语义或主题。而且可以认为这两者是一一对应的，用户的兴趣就是表现在物品的语义维度上的。
看上去，让用户和物品的隐因子向量两两相乘，计算点积就可以得到所有的推荐结果了。但是实际上复杂度还是很高，尤其对于用户数量和物品数量都巨大的应用，如 Facebook，就更不现实。于是 Facebook 提出了两个办法得到真正的推荐结果：
第一种，利用一些专门设计的数据结构存储所有物品的隐因子向量，从而实现通过一个用户向量可以返回最相似的 K 个物品。
Facebook 给出了自己的开源实现 Faiss，类似的开源实现还有 Annoy，KGraph，NMSLIB。其中 Facebook 开源的 Faiss 和 NMSLIB（Non-Metric Space Library）都用到了 ball tree 来存储物品向量。
第二种，就是拿着物品的隐因子向量先做聚类，海量的物品会减少为少量的聚类。然后再逐一计算用户和每个聚类中心的推荐分数，给用户推荐物品就变成了给用户推荐物品聚类。
得到给用户推荐的聚类后，再从每个聚类中挑选少许几个物品作为最终推荐结果。这样做的好处除了大大减小推荐计算量之外，还可以控制推荐结果的多样性，因为可以控制在每个类别中选择的物品数量。
4.3 矩阵分解不足
矩阵分解既有协同过滤的血统，又有机器学习的基因，可以说是非常优秀了；但即便如此，传统的矩阵分解无论是在处理显式反馈，还是处理隐式反馈都让人颇有微词，这一点是为什么呢？
得到这样的矩阵分解结果后，常常在实际使用时，又是用这个预测结果来排序。所以，从业者们口口声声宣称想要模型的预测误差最小化，结果绕了一大圈最后还是只想要一个好点的排序，让人不禁感叹：人心总是难测。
4.4 贝叶斯个性化排序
4.4.1 AUC
AUC 这个值在数学上等价于：模型把关心的那一类样本排在其他样本前面的概率。最大是 1，完美结果，而 0.5 就是随机排列，0 就是完美地全部排错。
AUC 怎么计算呢？一般步骤如下:
1. 用模型给样本计算推荐分数，比如样本都是用户和物品这样一对一对的，同时还包含了有无反馈的标识；
2. 得到打过分的样本，每条样本保留两个信息，第一个是分数，第二个是 0 或者 1，1 表示用户消费过，是正样本，0 表示没有，是负样本；
3. 按照分数对样本重新排序，降序排列；
4. 给每一个样本赋一个排序值，第一位 r1 = n，第二位 r2 = n-1，以此类推；其中要注意，如果几个样本分数一样，需要将其排序值调整为他们的平均值；
5. 最终按照下面这个公式计算就可以得到 AUC 值。
公式由两部分构成：
第一部分： 分母是所有我们关心的那类样本，也就是正样本，有 M 个，以及其他样本有 N 个，这两类样本相对排序总共的组合可能性，是 M x N；
第二部分： 分子也不复杂，原本是这样算的：第一名的排序值是 r1，它在排序上不但比过了所有的负样本，而且比过了自己以外的正样本。
但后者是自己人，所以组合数要排除，于是就有 n - M 种组合，以此类推，排序值为 rM 的就贡献了 rM - 1，把这些加起来就是分子。
关于 AUC，越接近 1 越好是肯定的，但是并不是越接近 0 就越差，最差的是接近 0.5，如果 AUC 很接近 0 的话，只需要把模型预测的结果加个负号就能让 AUC 接近 1。
已经介绍完排序的评价指标了，该主角出场了，BPR 模型，它提出了一个优化准则和学习框架，使得原来传统的矩阵分解放进来能够焕发第二春。
那到底 BPR 做了什么事情呢？主要有三点：一个样本构造方法；一个模型目标函数；一个模型学习框架。
1 构造样本
前面介绍的矩阵分解，在训练时候处理的样本是：用户、物品、反馈，这样的三元组形式。
其中反馈又包含真实反馈和缺失值，缺失值充当的是负样本职责。BPR 则不同，提出要关心的是物品之间对于用户的相对顺序，于是构造的样本是：用户、物品 1、物品 2、两个物品相对顺序，这样的四元组形式，其中，“两个物品的相对顺序”，取值是：
1. 如果物品 1 是消费过的，而物品 2 不是，那么相对顺序取值为 1，是正样本；
2. 如果物品 1 和物品 2 刚好相反，则是负样本；
3. 样本中不包含其他情况：物品 1 和物品 2 都是消费过的，或者都是没消费过的。
这样一来，学习的数据是反应用户偏好的相对顺序，而在使用时，面对的是所有用户还没消费过的物品，这些物品仍然可以在这样的模型下得到相对顺序，这就比三元组 point-wise 样本要直观得多。
2 目标函数
3 训练方法
梯度下降又有批量梯度和随机梯度下降两个选择，前者收敛慢，后者训练快却不稳定。因此 BPR 的作者使用了一个介于两者之间的训练方法，结合重复抽样的梯度下降。具体来说是这样做的：
1. 从全量样本中有放回地随机抽取一部分样本；
2. 用这部分样本，采用随机梯度下降优化目标函数，更新模型参数；
3. 重复步骤 1，直到满足停止条件。
