【比赛链接】http://59.61.75.5:8018/contest/218
A. 并
【题意】
一棵 $n$ 个点的树有 $n-1$ 条边，分别为 $(u_1,v_1),(u_2,v_2),\cdots,(u_{n-1},v_{n-1})$. 开始时，对每个点 $u$，有集合 $S_u=\{u\}$。
有 $m$ 个操作，第 $i$ 次操作给定 $p_i$，将 $S_{u_{p_i}}$ 与 $S_{v_{p_i}}$ 赋为它们的并。
所有操作结束后，对所有的 $i\in[1,n]$，求包含 $i$ 的集合的数目。
【数据范围】$n,m\le 5\times 10^5$。
【题解】
考虑每个点什么时候会被统计。显然每次包含其连通块的操作都会影响。将操作反序处理，统计一下即可。
效率 $O(m+n)$。期望得分：100。
【代码】
1 #include<bits/stdc++.h> 2 int n,m,u[500010],v[500010],s[500010],val[500010],q[500010]; 3 signed main() 4 { 5 scanf("%d%d",&n,&m); 6 for ( int i=1;i<n;i++ ) scanf("%d%d",&u[i],&v[i]); 7 for ( int i=1;i<=n;i++ ) s[i]=1; 8 for ( int i=1;i<=m;i++ ) scanf("%d",&q[i]); 9 for ( int i=m,x;i;i-- ) x=q[i],s[u[x]]=s[v[x]]=s[u[x]]+s[v[x]]-val[x],val[x]=s[u[x]]; 10 for ( int i=1;i<=n;i++ ) printf("%d%c",s[i]," \n"[i==n]); 11 return 0; 12 }
C. 管理
【题意】
一排 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品权值为 $a_i$，请将其分成恰好 $k$ 非空段，且让同段中 $a_i$ 相同的二元组 $(i,j)$ 尽量少。亦即，假设在第 $i$ 段里权值为 $j$ 物品有 $c(i,j)$ 个，则请最小化 $\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j}\binom{c(i,j)}{2}$。
【数据范围】$2\le n\le 10^5,\,1\le k\le \min\{n,20\},\,1\le a_i\le n$。
【题解】
考虑 $dp$。设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数分为 $k$ 段的最小值。则有：$f[i][j]=\min\limits_{0\leq k <i}(f[k][j-1]+w(k+1,i))$。
对于 $k$，由于 $k$ 较小，显然可以分层处理，即对每一层 $j$ 分别转移。
打表发现具有决策单调性。又无法用指针或单调队列维护具体情况，考虑用分治法处理决策单调性。
考虑如何计算 $w(l,r)$。显然可以由 $w(l,r)$ 推至 $w(l-1,r)$ 等类似位置。因此用类似莫队的方法进行维护即可。
效率 $O(nk\log n)$。期望得分：100。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 const long long inf=1LL<<60; 3 int n,k,cnt[100010],a[100010],pl,pr; 4 long long f[100010][22],res; 5 inline void Ins ( int x,int v ) { res-=1LL*cnt[x]*(cnt[x]-1)/2;cnt[x]+=v;res+=1LL*cnt[x]*(cnt[x]-1)/2; } 6 inline void solve ( int l,int r,int L,int R,int k ) 7 { 8 int mid=(l+r)>>1; 9 while ( pl>L+1 ) Ins(a[--pl],1); 10 while ( pr<mid ) Ins(a[++pr],1); 11 while ( pl<L+1 ) Ins(a[pl++],-1); 12 while ( pr>mid ) Ins(a[pr--],-1); 13 int p=L;long long ans=f[L][k-1]+res; 14 while ( pl<=mid and pl<=R+1 ) 15 { 16 if ( f[pl-1][k-1]+res<=ans ) ans=f[pl-1][k-1]+res,p=pl-1; 17 Ins(a[pl++],-1); 18 } 19 f[mid][k]=ans; 20 if ( l<=mid-1 ) solve(l,mid-1,L,p,k); 21 if ( mid+1<=r ) solve(mid+1,r,p,R,k); 22 } 23 signed main() 24 { 25 scanf("%d%d",&n,&k); 26 for ( int i=1;i<=n;i++ ) scanf("%d",&a[i]); 27 for ( int i=0;i<=n;i++ ) for ( int j=0;j<=k;j++ ) f[i][j]=inf; 28 f[0][0]=0; 29 for ( int j=1;j<=k;j++ ) 30 { 31 res=0;pl=1;pr=n; 32 for ( int i=1;i<=n;i++ ) cnt[i]=0; 33 for ( int i=1;i<=n;i++ ) Ins(a[i],1); 34 solve(1,n,0,n-1,j); 35 } 36 return !printf("%lld\n",f[n][k]); 37 }