H - Log Concave Sequences —— 矩阵快速幂

This way

题意：

你现在有无穷个0,1，2，现在让你构造一个长度为n的串，使得满足以下条件
对于第i位（2<=i<n）,a[i]*a[i]>=a[i-1]*a[i+1]
问你能构造多少种这个串

题解：

很明显它首先是dp，于是我写出这样一个式子：
dp[i][j]表示第i位取j时的情况数
但是这个式子是要从dp[i-1][k]dp[i-2][l]这里转移过来的，同时n的范围是1e18，所以这个很明显是矩阵快速幂，但是这种方法不行。
于是想到dp[i][j][k]表示在第i位取j，第i+1位取k的时候的状态数。这样转移就变成了一维的。
那么转移矩阵就是枚举ijk三个位置，j和i表示后面两位，k和j表示前面两位。在i*k<=j*j成立的时候， $b.m[i*3+j][j*3+k]++;$
因为每个值都有3种，所以i3+j表示dp[i+1]的状态，j*3+k表示dp[i]的状态。
好久没做矩阵快速幂了啊，对于
转移矩阵*初始值
的时候，初始值的矩阵是m*1的，也就是：

	for(int i=0;i<9;i++)
        a.m[i][0]=1;
    n-=2;
    while(n){
        if(n&1)
            a=b*a;
        b=b*b;
        n>>=1;
    }

但是对于
初始值*转移矩阵
的时候，初始矩阵是m*m的，也就是

	for(int i=0;i<9;i++)
        a.m[i][i]=1;
    n-=2;
    while(n){
        if(n&1)
            a=a*b;
        b=b*b;
        n>>=1;
    }

呕，我要吐了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
int maxn=9;
struct Matrix
{
    ll m[9][9];
    Matrix(){
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
    Matrix  operator +(const Matrix &b)const
    {
        Matrix c;
        for(int i=0; i<maxn; i++)
        {
            for(int j=0; j<maxn; j++)
            {
                c.m[i][j]=(m[i][j]+b.m[i][j])%mod;
            }
        }
        return c;
    }
    Matrix  operator *(const Matrix &b)const
    {
        Matrix c;
        memset(c.m,0,sizeof(c.m));
        for(int i=0; i<maxn; i++)
        {
            for(int j=0; j<maxn; j++)
            {
                for(int k=0; k<maxn; k++)
                {
                    c.m[i][j]=(c.m[i][j]+(m[i][k]*b.m[k][j])%mod)%mod;
                }
            }
        }
        return c;
    }
};

int main()
{
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    Matrix a,b;
    for(int i=0;i<=2;i++)
        for(int j=0;j<=2;j++)
            for(int k=0;k<=2;k++)
                if(i*k<=j*j)
                    b.m[i*3+j][j*3+k]++;
    //memset(a.m,0,sizeof(a.m));
    for(int i=0;i<9;i++)
        a.m[i][0]=1;
    n-=2;
    while(n){
        if(n&1)
            a=b*a;
        b=b*b;
        n>>=1;
    }
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<9;i++)
            ans=(ans+a.m[i][0])%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
/**/