[题解] LuoguP3784 [SDOI2017]遗忘的集合

要mtt的题都是......

多补了几项就被卡了一整页......果然还是太菜了......


不说了......来看100分的做法吧......

如果做过付公主的背包,前面几步应该不难想,所以我们再来写一遍柿子。

首先令\(c_i = [0,1]\)表示数\(i\)是否在集合中,那么\(f\)的生成函数就是
\[ F(x) = \prod\limits_{i=1}^n (\frac{1}{1-x^i})^{c_i} \]
乘法不太好做,我们两边\(\ln\)一下,转化成加法
\[ \ln F(x) = \sum\limits_{i=1}^n c_i \ln(\frac{1}{1-x^i}) \]
我们想要右边的\(\ln\)变得好看一点,这个柿子在付公主的背包里好像推过了......这里就不写了。

柿子是
\[ \ln(\frac{1}{1-x^i}) = \sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j}x^{ij} \]
带上去再做一些变化
\[ \ln F(x) = \sum\limits_{i=1}^n c_i \sum\limits_{j \ge 1} \frac{1}{j} x^{ij} \]
我们枚举\(k = ij\)
\[ \ln F(x) = \sum\limits_{k=1}^n x^k \sum\limits_{i \mid k} c_i\cdot \frac{i}{k} \]
我们令\(f'_k\)表示\(\ln F(x)\)\(i\)次项系数\(\times k\),知道了\(f'_k = \sum\limits_{i \mid k} c_i i\)

那么我们要构造一组\(c\),使得答案的字典序最小。字典序这个东西有很强的可贪性......

我们肯定会先考虑较小的\(i\),然后我们又知道对于能被\(i\)整除的\(j\),也就是\(i \mid j\),有\(f'_j \ge f'_i\),因为能对\(i\)产生贡献的\(c_k\),对\(j\)也会产生贡献。

所以当我们把\(f'\)求出来的时候,做一个类似筛法的东西,\(\forall j, i\mid j\),让\(f'_j\)\(f'_i\)

最后剩下类非\(0\)\(f'_i\)\(i\)就是在一个集合内的数,这样复杂度是对的。

然而需要MTT,异常duliu......

得到了一个教训......代码中的limit不可以瞎开......

\(Code:\)(只会写辣鸡版本的MTT......)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long double db;
typedef long long ll;
const db PI=acos(-1.0);
const int N=8e5+10;
int mod;
inline int fpow(int x,int y){
    int ret=1; for(x%=mod;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)
        if(y&1) ret=1ll*ret*x%mod;
    return ret;
}
inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
inline int sub(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
namespace Poly{
    struct cpl{
        db x,y;
        cpl operator + (cpl k1)const{return (cpl){x+k1.x,y+k1.y};}
        cpl operator - (cpl k1)const{return (cpl){x-k1.x,y-k1.y};}
        cpl operator * (cpl k1)const{return (cpl){x*k1.x-y*k1.y,x*k1.y+y*k1.x};}
    };
    int rev[N];
    void init(int n){
        for(int i=0;i<n;i++)
            rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n>>1:0);
    }
    void fft(cpl *f,int n,int flg){
        for(int i=0;i<n;i++) if(rev[i]<i) swap(f[i],f[rev[i]]);
        for(int len=2,k=1;len<=n;len<<=1,k<<=1){
            cpl wn=(cpl){cos(2*PI/len),flg*sin(2*PI/len)};
            for(int i=0;i<n;i+=len){
                cpl w=(cpl){1,0};
                for(int j=i;j<i+k;j++,w=w*wn){
                    cpl tmp=w*f[j+k];
                    f[j+k]=f[j]-tmp,f[j]=f[j]+tmp;
                }
            }
        }
        if(flg==-1) for(int i=0;i<n;i++)
            f[i].x/=n;
    }
    void mtt(int *a,int *b,int *c,int n){
        static cpl f[2][N],g[2][N],ans[3][N];
        for(int i=0;i<n;i++){
            f[0][i]=(cpl){(db)(a[i]>>15),0};
            f[1][i]=(cpl){(db)(a[i]&0x7fff),0};
            g[0][i]=(cpl){(db)(b[i]>>15),0};
            g[1][i]=(cpl){(db)(b[i]&0x7fff),0};
        }
        fft(f[0],n,1),fft(f[1],n,1),fft(g[0],n,1),fft(g[1],n,1);
        for(int i=0;i<n;i++){
            ans[0][i]=f[0][i]*g[0][i];
            ans[1][i]=f[0][i]*g[1][i]+f[1][i]*g[0][i];
            ans[2][i]=f[1][i]*g[1][i];
        }
        fft(ans[0],n,-1),fft(ans[1],n,-1),fft(ans[2],n,-1);
        #define normal(x) (((ll)((x)+0.5)%mod+mod)%mod)
        for(int i=0;i<n;i++){
            ll t1=(normal(ans[0][i].x)<<30ll)%mod;
            ll t2=(normal(ans[1][i].x)<<15ll)%mod,t3=normal(ans[2][i].x);
            c[i]=((t1+t2)%mod+t3)%mod;
        }
    }
    void dao(int *f,int n,int *G){
        static int F[N]; for(int i=0;i<=n;i++) F[i]=f[i];
        for(int i=1;i<=n;i++) G[i-1]=1ll*F[i]*i%mod; G[n]=0;
    }
    void jifen(int *f,int n,int *G){
        static int F[N]; for(int i=0;i<=n;i++) F[i]=f[i];
        for(int i=0;i<=n;i++) G[i+1]=1ll*F[i]*fpow(i+1,mod-2)%mod; G[0]=0;
    }
    void getinv(int *f,int n,int *G){
        if(n==1){G[0]=fpow(f[0],mod-2);return;}
        getinv(f,(n+1)>>1,G);
        static int F[N],H[N],H1[N];
        int limit=1; while(limit<=(n-1)*2)limit<<=1; init(limit);
        for(int i=0;i<n;i++) H[i]=G[i],F[i]=f[i];
        for(int i=n;i<limit;i++) H[i]=F[i]=G[i]=0;
        mtt(F,G,H1,limit);
        H1[0]=sub(2,H1[0]);
        for(int i=1;i<limit;i++) H1[i]=i<n?mod-H1[i]:0;
        for(int i=n;i<limit;i++) H1[i]=0;
        mtt(H,H1,G,limit);
        for(int i=n;i<limit;i++) G[i]=0;
    }
    void getln(int *f,int n,int *G){
        static int F[N],iF[N]; for(int i=0;i<n;i++) F[i]=f[i];
        getinv(F,n,iF),dao(F,n-1,F);
        int limit=1; while(limit<=(n-1)*2)limit<<=1; init(limit);
        mtt(F,iF,G,limit);
        jifen(G,n-1,G); for(int i=n;i<limit;i++) G[i]=0;
    }
}
int n,f[N],ans[N];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&mod);
    f[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&f[i]);
    Poly::getln(f,n+1,ans);
    for(int i=1;i<=n;i++) ans[i]=1ll*ans[i]*i%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i) ans[j]=sub(ans[j],ans[i]);
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) if (ans[i]) ++cnt;
    printf("%d\n",cnt);
    for(int i=1;i<=n;i++) if(ans[i]) printf("%d ",i);
    return 0;
}

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