2020牛客寒假算法基础集训营3——F.牛牛的Link Power I【计算】【分治】

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题目描述

牛牛有一颗大小为n的神奇 $Link-Cut$ 数组，数组上的每一个节点都有两种状态，一种为 $link$ 状态，另一种为 $cut$ 状态。数组上任意一对处于 $link$ 状态的无序点对（即 $(u,v)$ 和 $(v,u)$ 被认为是同一对）会产生 $dis(u,v)$ 的 $link$ 能量， $dis(u,v)$为数组上u到v的距离。

我们定义整个数组的 $Link$ 能量为所有处于 $link$ 状态的节点产生的 $link$ 能量之和。

一开始数组上每个节点的状态将由一个长度大小为 $n$ 的 $01串$ 给出， $'1'表示Link状态$， $'0'表示Cut状态$。

牛牛想要知道整个数组的 $Link$ 能量，为了避免这个数字过于庞大，你只用输出答案对 $10^9+7$取余后的结果即可。

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输入描述:

第一行输入一个正整数 $n(1 \leq n \leq 10^5)$

接下里一行输入一个长度大小为n的01串表示数组的初始状态，'1’表示Link状态，'0’表示Cut状态。

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输出描述:

仅一行，表示整个数组的Link能量对 $10^9+7$ 取余后的

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输入

3
101
5
00110
6
000010

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输出

2
1
0

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题解1 $（直接计算）$

• $记录cnt与num，cnt表示当前经过了多少个1,num表示前面所有的点到当前位置的贡献。$
• $这个也是最直观最好想到，最有效的算法。$
• $因为他时间复杂度为O\left(n\right),空间复杂度甚至可以O\left( 1\right)$

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题解2 $（分治）$

• 分治算法计算贡献，对于每一个区间 $\left[ l,r \right]$，它的中点为 $mid$ ，该区间的贡献可以分解为以下三部分

  1. 左侧区间产生的贡献。
  2. 右侧区间产生的贡献。
  3. 过中点 $mid$ 产生的新贡献。

• 那么对于1,2，我们可以使用递归求解，由于区间越分越小，所以最终复杂度总和为 $O\left(nlog_2n\right)$

• 考虑3，只需要暴力for左侧区间，统计左侧区间"1"的数目，以及它们到中点的和。
  时空复杂度为 $O\left(nlog_2n\right)$

• 这个方法虽然不够优秀，但是它可以扩展到线段树上面维护动态问题（也就是解决第二问），线段树其实就是保留了每次分治的结果。

• 如果学分治的话建议写一写。

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AC-Code $(直接计算)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
const int maxn = 1e5 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;
 
int main() {
    ios;
    int n; string s;
    cin >> n >> s;
    ll ans = 0;
    ll num = 0;
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
        num = (num + cnt) % mod;    // 如果前面有cnt个1，那么每个1的位置往当前位置的距离都需要+1
        if (s[i] == '1') {
            if (cnt)
                ans = (ans + num) % mod;
            ++cnt;
        }
    }
    cout << ans << endl;
}

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AC-Code $(分治)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
const int mod = 1e9 + 7;
char s[MAXN];
int n;
long long ans;
void div_algorithm(int l, int r) {
	if (l == r)     return;
	int mid = (l + r) >> 1;
	long long leftsum = 0;
	long long leftcnt = 0;
	for (int i = mid; i >= l; --i) {	
		if (s[i] == '1') {
			leftsum = (leftsum + mid - i) % mod;
			++leftcnt;
		}
	}
	for (int i = mid + 1; i <= r; ++i) {
		if (s[i] == '1') {
			ans = (ans + leftsum + (i - mid) * leftcnt % mod) % mod;
		}
	}
	div_algorithm(l, mid);		// 计算左侧贡献
	div_algorithm(mid + 1, r);	// 计算右侧贡献
}
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	scanf("%s", s + 1);
	div_algorithm(1, n);
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}