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匈牙利算法解决的问题

匈牙利算法（Hungarian Algorithm）是一种组合优化算法（combinatorial optimization algorithm），用于求解指派问题（assignment problem），算法时间复杂度为 $O(n^3)$ 。

匈牙利算法包括下面四个步骤，第一步和第二步只执行一次，第三步和第四步重复执行，直到得到最优的指派方案。这个算法的输入是一个 $n * n$ 的矩阵，且矩阵元素非负。

步骤一：每行元素减当前行最小值
对于每一行，找到这一行的最小元素，这一行的每个元素都减去这个最小元素。
步骤二：每列元素减当前列最小值
同样，对于每一列，找到这一列的最小元素，这一列的每个元素都减去这个最小元素。注意此时矩阵已经是经过第一步处理后的矩阵，如果这一列的最小值是0，那么就减0，而不是减输入矩阵中这一列的最小值。
步骤三：在矩阵上划横线或是竖线，用最少数量的线覆盖所有的0
如果用线的数量等于矩阵的宽度 $n$ ，则已经找到最优指派方案，算法结束。如果用线的数量小于矩阵的宽度 $n$ ，则进行第四步。
步骤四：找到没有被线覆盖的矩阵元素中的最小值，这里把它命名为 $k$ 。所有没有被线覆盖的矩阵元素减 $k$ ，所有同时被两条线覆盖的矩阵元素加 $k$ 。重复步骤三。