CF919E Congruence Equation

一、题目

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二、解法

发现 $p$很小，考虑和 $p$有关的算法。

首先想到的肯定是费马小定理吧，我们可以枚举 $a^x$的周期 $[1,p-1]$，设前面的系数为 $n$，那么 $n$是可以被算出来的： $n=b\times inv(a^x)\mod p$

然后 $n$还有一个限制： $n=x\mod p-1$

综合这两个条件，我们可以解方程，用不到中国剩余定理，直接构造即可（下面的 $b$表示的是上面的 $b\times inv(a^x)$）：
$(p-1)\times(x-b)+x$把 $p,p-1$带进去模就能发现它是满足条件的，设它算出来的值为 $tmp$，我们先把 $tmp$模 $p\times(p-1)$，得到最小的正整数解，先和 $x$比大小，然后再算贡献即可，时间复杂度 $O(n)$。

#include <cstdio>
#define int long long
int read()
{
 int x=0,flag=1;char c;
 while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
 while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
 return x*flag;
}
int a,b,c,p,x,ans;
int qkpow(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1) res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
signed main()
{
    a=read();b=read();p=read();x=read();
    a=qkpow(a,p-2);c=p*(p-1);
    for(int i=1;i<p;i++)
    {
        b=b*a%p;
        int tmp=(p-1)*(i-b)+i;
        tmp=(tmp%c+c)%c;
        if(tmp<=x)
            ans+=(x-tmp)/c+1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
/*
a^x (1<=x<p)
n=b (mod p)
n=i (mod p-1)
*/