压缩感知的发现
如今我们身边这些数码东西无时无刻影响着我们的生活。比如手机，电视，电话，电脑等一些数码产品，我们就处于这样一个数字化的时代。
数字化的时代，离不开传感器，所有数字信号采集都需要这样的数码传感器的支撑。但随着人们对图像，视频等的需求和要求越来越高，对应的这些硬件设备压力也就越来越大。比如提高图像分辨率，就需要更多的传感器采集更多的图像信号，而采集更多的信息量时，就对应更宽的频带，若用传统的奈奎斯特采样方法，将需要更高的采样速度。因为奈奎斯特采样定律中规定采样速率是信号带宽的两倍，然而这对硬件提出了更高的采样速度的要求。另一方面，采集更多的信息，也就需要更多的时间来采集，同时也会占用更大的内存。此外还有一些信号如x射线，伽马射线等用传统方法无法采集，这些将会是图像信号处理领域的一些大的瓶颈。
那么在这样一个对信号采集这么苛刻的需求下，有没有一种更为有效的采集，传输，存储以及处理信号的方法呢？Yes！就是压缩感知。
要说到压缩感知，就必须要探讨这三位创始人。陶哲轩，澳籍华人数学家，童年时就天资过人被视为神童，24岁起担任教授，之后就获得此校的终身数学教授。Candes是斯坦福大学应用计算数学教授，获奖无数，是当之无愧的大牛。另一位创始人Donoho在应用数理统计领域举足轻重，发展了全新的数学和统计工具来处理大型高维的数据。
关于压缩感知的发现有一个小故事。Candes在研究他的图像算法时偶然用到L1范数最小优化算法去除噪声条纹发现图像真的变清晰了，他觉得很神奇。而且在图像变干净的同时，图像细节出人意料的完美起来。他得找到理论依据来证明这一个现象。于是一个偶然，他就遇到了陶哲轩，两人共同合作了压缩感知领域的第一篇论文，从而开启了压缩感知的研究。据说当时Candes去幼儿园接孩子，正好遇到了陶哲轩也去接孩子。两人在攀谈过程中Candes提到了自己手头上的困难。于是陶哲轩也开始想这个问题，这一想便成就了这一大理论。
我们知道对于一个图像信号，它的传输需要经过采样变成数字信号，才能对它进行数据传输、存储。在传统的采样中我们依据奈奎斯特采样定律直接进行将模拟信号采样变成数字信号。然而直接采样量化后的信号中包含大量的冗余无用信号，只有少量的有用信息，为了减少存储比特，需要对它进行压缩处理，然后将压缩后的数据再传输。传输过去之后在接收端对传输过来的压缩信号进行解压缩，恢复出原始信号则便可以通过显示器显示出来。
我们来分析一下这个传统的采样过程有什么不妥的地方？相机传感器将模拟信号，也就是光信号基于奈奎斯特采样定理转换为数字信号。假设采样出来数字信号x具有n维，里面只有有k个有用信息。而我们最后会通过压缩算法，将n维信号压缩成k维数据，这里的k远小于n。那么，问题来了为什么我们费了一番心思，获得n个采样值，最后又将它压缩成为k个，为什么不直接采集压缩后保留的那k个有用的信号？对于这个疑问我们便引出了压缩感知。
在压缩感知的采样中我们直接将原始信号进行压缩采样。采样出m维有效的测量值y，而m远小于n，我们将这m维测量值y进行传输存储。然后在接收端，恢复这些m维信号，通过压缩感知算法重构出原始的n维信号x。
简单谈一下压缩感知的数学模型，n维的信号x在某组正交基字典Ψ下能够稀疏表示成x＝ΨΘ，其中Θ是x在这个正交基字典Ψ下的稀疏形式。假设Θ是k稀疏的，即其中的非0系数个数为k远小于n。那么采用另一个与正交基不相关的矩阵Φ，对x执行一个压缩观测y＝Φx，其中Φ是一个m*n维的系数矩阵，只有m个方程，而未知数个数为n个，m是远小于n的，可以看出来这是一个欠定方程。未知数的个数远大于方程的个数，存在无穷多解，因此求解这个方程并不能得到唯一确定的原始信号x，它是一个病态问题。但是根据前面将x稀疏表示成为Θ之后，将原方程组改为y＝ΦΨΘ，里面的未知数却很少，跟方程个数m近似相等，这就给方程的解提供了一个可解的可能，于是我们便有可能从里面恢复出来原始信号x。
压缩感知的发现是一个偶然但也是必然，科学的大轮一直不停歇的滚滚向前，科学家们势必会寻找到各种方法去突破研究领域中的瓶颈。压缩感知的发现解决了图像处理领域的瓶颈，解放了对高速传感器的压力。这是一个神奇的发现。