误差与有效数字

绝对误差

绝对误差： $e = x^* - x$，其中 $x$为近似值， $x^*$为精确值。
$|e|$的上限记为 $\epsilon$，称为绝对误差限，记为 $x=x^* \pm \epsilon$

相对误差

相对误差： $e_r = \frac{e}{x^* }$
x的相对误差上限为 $\epsilon _r = \frac{\epsilon}{|x^* |}$

注：实际中相对误差限 $\epsilon_r$不如绝对误差限 $\epsilon$，常用 $\vert \frac{\epsilon}{x} \vert$来求得。

有效数字

有效数字：设 $x^*$的近似值是 $x = \pm 0.a_1a_2 \dots a_n \times 10^m$，其中 $a_i \in \lbrace 0, 1, 2, \cdots, 9 \rbrace$，m为整数，如果有
$\vert e \vert = \vert x^* - x \vert < \frac{1}{2} \times 10 ^{m-n}$
则称近似值x具有n位有效数字或称x精确到 $10^{m-n}$位，其中 $a_1, a_2, \cdots, a_n$都是x的有效数字，也称x为有效数字的近似值。

定理1

设近似值 $x = \pm 0.a_1a_2 \cdots a_n \times 10 ^{m - n}$其中 $a_1 \neq 0$，有n位有效数字，则x的相对误差限为 $\epsilon_r \leq \frac{1}{2a_1} \times 10 ^ {-n+1}$.

定理2

设近似值 $x = \pm 0.a_1a_2\cdots a_n \times 10^{m}$其中 $a_1\neq0$，相对误差限为 $\epsilon_r = \frac{1}{2(a_1 + 1)}\times10^{-n+1}$，则x至少有n位有效数字。

定理1与定理2展现了有效数字的位数与相对误差限的关系。

例1
设 $x=2.72$表示 $e$具有3位有效数字的近似值，求近似值的对误差限。
解： $x = 2.72 = 0.272 \times 10 ^ {1}$根据定义 $a_1 = 2$， $n = 3$， $m = 1$。由定理1有
$\epsilon_r \leq \frac{1}{2a_1} \times 10^{-n+1} \leq \frac{1}{2\times2}10^{-3+1}=0.25\times10^{-2}$.

例2
要使 $\sqrt{20}$的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？
解： $\sqrt{20}$的首位数字为4，即 $a_1$ = 4，设x有n位有效数字，则 $\epsilon_r = \frac{1}{2 \times 4} \times 10 ^{1-n} <= 0.001$得 $n \geq 3.097$，n为正整数，则 $n=4$.

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