《线性代数：行列式》：常见行列式的值 - 代码天地

《线性代数：行列式》：常见行列式的值

其他 2020-01-29 11:56:18 阅读次数: 0

1、主对角行列式

$\begin{vmatrix} a_{11} &. &. &. &a_{1n} \\ & .& & & .\\ & & .& & .\\ & & &. & .\\ & & & & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & & & & \\ .& .& & & \\ .& & .& & \\ .& & &. & \\ a_{n1}&. &. &. & a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11} & & & & \\ & .& & & \\ & & .& & \\ & & &. & \\ & & & & a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}...a_{nn}$

2、副对角行列式

$\begin{vmatrix} a_{11} &. &. &. &a_{1n} \\. & & &. & \\ .& &. & & \\ .&. & & & \\ a_{n1}& & & & \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} & & & &a_{1n} \\ & & &. & . \\& &. & & . \\&. & & &. \\ a_{n1}&. & .& .&a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} &&& &a_{1n} \\& & &. & \\ & &. & & \\ &. & & & \\ a_{n1}& & & & \end{vmatrix} =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}...a_{n1}$

3、拉普拉斯展开式

设 A 是 m 阶矩阵， B 是 n 阶矩阵，则

主对角线

$\begin{vmatrix} A & C\\ O&B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O\\ C&B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O\\ O&B \end{vmatrix} =|A|*|B|$

副对角线

$\begin{vmatrix} C& A\\ B&O \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} O & A\\ B&C \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} O & A\\ B&O \end{vmatrix} =(-1)^{mn}*|A|*|B|$

4、范德蒙行列式

$V_{n}=\begin{vmatrix} 1& 1 & . &. &. &1 \\ x_{1}&x_{2} &. &. &. &x_{n} \\ x_{1}^{2} &x_{2}^{2} &. &. &. &x_{n}^{2} \\ . & . & & & &. \\ .& .& & & &. \\ x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1} &. &. &. &x_{n}^{n-1} \end{vmatrix}=\prod _{1\le i < j\le n}(x_{j}-x{_i})$

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