【Codeforces Round #614（div2）】D-Aroma's Search （贪心）

一、题目链接

https://codeforces.com/contest/1293/problem/D

二、题意

第一行给出一个点的坐标 $x_0$、 $y_0$，以及 $a_x$、 $a_y$、 $b_x$、 $b_y$。

当 i > 0 时，第i个点的坐标：

$x_i$ = $a_x$ * $x_{i-1}$ + $b_x$

$y_i$ = $a_y$ * $y_{i-1}$ + $b_y$

给出起始点 $x_s$、 $y_s$，开始移动。每一步可以横向或纵向移动一个单位长度，记为1步。问限定t步内，至多可以采集多少点。

三、数据范围

1 ≤ $x_0$, $y_0$ ≤ $10^{16}$

2 ≤ $a_x$, $a_y$≤ 100

0 ≤ $b_x$, $b_y$ ≤ $10^{16}$

1 ≤ $x_s$, $y_s$, t ≤ $10^{16}$

四、解题思路

先看数据范围，哎鸭，怎么这么大，不会了不会了。

再看一眼，发现2 ≤ $a_x$, $a_y$≤ 100 在一堆long long型中格外醒目。尤其是下界“2"——这意味着每个点的横纵坐标 $x_i$、 $y_i$ 至少是 $x_{i-1}$、 $y_{i-1}$ 的两倍！由指数增长趋势，后面的点会离得越来越远的！

那么， $10^{16}$ 就显得格外渺小啦。 $2^{60}$ 都有 $10^{18}$ 了，平面上最多就几十个点，我才不怕呢~

又由于指数增长的特点，第i个点和第0个点的曼哈顿距离（横轴差与纵轴差绝对值的和）总小于第i个点到第i+1个点（分解到x、y轴，用指数模型理解即可）。

所以，从任意点出发，先尽可能收集左边点，有剩余步数再收集右边点，一定是最优的解法。 大！胆！贪！心！

//区间dp也可做，在这里就略了

五、AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
 
ll x[100], y[100], ax, ay, bx, by, xs, ys, t;
int ans;
 
int main()
{
    cin >> x[0] >> y[0] >> ax >> ay >> bx >> by >> xs >> ys >> t;
    int num = 0;
    while(1) //把点记录好
    {
        num++;
        x[num] = x[num - 1] * ax + bx;
        y[num] = y[num - 1] * ay + by;
        if (x[num] > xs && y[num] > ys && x[num] - xs + y[num] - ys > t) break;
        //压根走不到的点就不用记录啦
    }
    for (int i = 0; i <= num; i++) //枚举以i为起点开始收集的情况，取最大解为ans
    {
        ll sum = abs(xs - x[i]) + abs(ys - y[i]);
        //sum记录步数，初始为从起点到i点的步数
        if (sum > t) continue; 
        int now = 1; //now是以i为起点能收集的点数，现在已经收集了i点，now++
        int l = i; //向左找
        while(l > 0 && sum + x[i] - x[l - 1] + y[i] - y[l - 1] <= t) l--;
        //能走到的最小点
        sum += (x[i] - x[l] + y[i] - y[l]) * 2; 
        //由于曼哈顿距离特点，逐点计算步数与直接从i走到最小点的步数相等，所以直接找最小点计算
        //*2是算上从最小点返回的步数
        now += i - l; //更新在左边收集的点数
        int r = i; //向右找
        while(x[r + 1] > 0 && sum + x[r + 1] - x[i] + y[r + 1] - y[i] <= t) r++;
        now += r - i;
        //因为在循环里就限定了sum不会越界，所以不需要再判断sum，now一定是可行的方案
        ans = max(ans, now);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}