CodeForces - 532E Andrew and Taxi（二分，拓扑排序）

链接：CodeForces - 532E Andrew and Taxi

题意：

给出一含 $n$个结点 $m$条边 $(2≤n≤100000, 1≤m≤100000)$的有向图，每条单向边有起点 $u_i$，终点 $v_i$以及反转该条边（即 $u_i,v_i$交换）需要的交通管制员 $c_i\; (1≤u_i,v_i≤n, 1≤c_i≤10^9)$。

一次派遣 $C$个交通管制员可以选择性地反转任意 $c_i\le C$的边，问若要使该有向图变为有向无环图，最小的 $C$是多少，同时输出任意一组在 $C$最小时的方案（反转边数无特殊限制）。

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分析：

很明显可以用 二分的方法来找到最小的 $C$，对于一个可能的答案 $mid$，若 $mid$满足条件，则更小了找，即令 $r=mid-1$；若 $mid$不满足条件，则往大了找，即令 $l=mid+1$。则最后一个满足条件的 $mid$即为答案。

怎么判断 $mid$是否为可行解？

可以 将图中所有 $c_i\le mid$的边全部删除，观察残图是否有环，若有环， $mid$肯定不是可行解；否则，我们总能找到一个方案，把删除的边加回去（反转或不反转），使得图变为DAG，即若残图无环， $mid$一定为可行解。

如何找到可行方案呢？

我们只需要将残图拓扑排序（若无拓扑序，则说明是有环图，即不是可行解），将删除的边加回时，要 保证起点 $u_i$的拓扑序先于（即小于）终点 $v_i$的拓扑序，这样就能保证新图依旧有拓扑序（即无环）。

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以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+50;
int n,m,k;
struct edge
{
    int u;
    int v;
    int c;
    int next;
}e[maxn];
int head[maxn];
void addedge(int id,int u,int v,int c)
{
    e[id]=edge{u,v,c,head[u]};
    head[u]=id;
}
int num[maxn];
bool topo(int x)
{
    queue<int> q;
    int in[maxn]={0},tot=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(e[i].c>x)
            in[e[i].v]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(in[i]==0)
            q.push(i);
    }
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        num[u]=++tot;
        q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
        {
            int v=e[i].v;
            if(e[i].c>x)
            {
                in[v]--;
                if(in[v]==0)
                    q.push(v);
            }
        }
    }
    if(tot==n)  //若tot不等于n，则无拓扑序（即有环）
        return true;  
    else
        return false;
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v,c;
        scanf("%d %d %d",&u,&v,&c);
        addedge(i,u,v,c);
    }
    int L=0,R=1e9,MID;
    while(L<=R)
    {
        MID=(L+R)>>1;
        if(topo(MID))
        {
            k=MID;
            R=MID-1;
        }
        else
            L=MID+1;
    }
    topo(k);
    int ans[maxn],cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)    //将删除边加回
    {
        if(e[i].c<=k&&num[e[i].u]>num[e[i].v])
            ans[++cnt]=i;
    }
    printf("%d %d\n",k,cnt);
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        if(i>1)
            printf(" ");
        printf("%d",ans[i]);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}