图论 —— 树的直径 及 其两种求法

定义：

树的直径，即 树上最远的两点的距离（即 树上最大距离），若树的边权全为 $1$，则树的直径即是 树上的最长链。

通常有两种树的直径的求法，时间复杂度均为 $O(n)$

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①树形DP求树的直径

改方法只需遍历一次，即可求得树的直径大小，但无法求得直径的具体路径。

选取任意结点为根遍历树，设 $d[i]:$表示结点 $i$为根的子树结点最远距离。

则有：

• $u$为根的子树结点最远距离 $d[u]=\max\{d[v]+w_{u-v}\}\;\;\;v\in u$的子结点

最后直径即为 根结点 的 两个最远距离之和

int d[maxn],len=0;
void DP(int u,int pre)
{
    d[u]=0;   //初始为0
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v,w=e[i].w;
        if(v==pre)
            continue;
        DP(v,u);
        len=max(len,d[u]+d[v]+w);  //更新直径
        d[u]=max(d[u],d[v]+w);
    }
}

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②两次DFS求直径

该方法要遍历两次，第一次任选结点为根进行DFS，找到距离最远的结点；第二次以该距离最远的结点为根进行DFS，找到距离最远的结点，两点距离即为直径大小，两点简单路径即为直径。

设 $dist[i]：$表示 $i$结点到根结点的距离

• 若要记录路径，可 对第二次DFS进行修改，因为 第一次DFS得到的距离最远结点一定为直径的一个端点，只要以其为根DFS找到距离最远的点（令一个端点），路径即为直径。

int dist[maxn],s,max_dist;
void DFS(int u,int pre)
{
    if(dist[u]>max_dist)
    {
        max_dist=dist[u];
        s=u;
    }
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v,w=e[i].w;
        if(v==pre)
            continue;
        dist[v]=dist[u]+w;
        DFS(v,u);
    }
}
int get_len()
{
    max_dist=dist[1]=0;
    s=1;
    DFS(1,-1);
    max_dist=dist[s]=0;
    DFS(s,-1);
    return max_dist;
}