CodeForces -1208F Bits And Pieces（位运算，贪心，SoS DP）

链接：CodeForces -1208F Bits And Pieces

题意：

给出一个长度为 $n\;(3\le n\le 10^6)$ 的序列 $a_1,a_2,\cdots,a_n\;(0\le a_i\le 2\cdot10^6)$，求 $a_i|(a_j\And a_k)\;(其中 i\lt j\lt k)$ 的最大值。

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分析：

假设固定一个 $a_i$，对于为 $1$的二进制位，或运算一定得 $1$，不用考虑；但对于为 $0$的二进制位，只有和 $1$或运算才能使得结果值更大，也就是说要 $a_j$ 和 $a_k$ 的对应二进制位为 $1$（因为 $a_i$和 $a_j$之间是与运算）。

例如当 $a_i=0100\,1101$（假设 $a\le2^8-1$），则要令值最大应当尽可能找到 $a_j$和 $a_k$，其子集均包括 $1011\,0010$。

①dp过程

这里就要用到SoS DP的思想：https://codeforces.com/blog/entry/45223

$dp[x]$：序列中 子集含有 $x$的 $a$的位置集合，由于 $i\lt j\lt k$，所以只要贪心地 保留位置最靠右（最大）的两个位置 即可。

所以可以先将所有 $a$放入 $dp$数组当中，对于 $x$，其 子集有 $2^k$个（其中 $k$为 $x$二进制位为 $1$的个数），若对于每一个 $dp[a]$，都找到所有子集并更新，时间复杂度会达到 $O(N*a)$。

由于很多 $a$都有相同的子集，所以多了很多重复更新。我们可以考虑，一个数，其子集的子集，仍然是其子集，所以可以 每次仅更新将 其中一位二进制位从 $1$变为 $0$ 的子集（之后这些子集再去更新下一层子集）。例如 $a=1101$，则仅更新 $0101,1001,1100$。

由于子集肯定小于原数，那么可以从最大的 $a_{max}$开始，从后往前更新 $0$ ~ $a_{max}$的所有数，时间复杂度为 $O(a*k)$。

②求解答案

枚举 $a_i$，根据 $a_i$的二进制位 贪心地构造一个值 $w$，保证 $dp[w]$的两个最大位置均 $\gt i$，最大的 $a_i|w$即为答案。

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以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e6+50;
const int maxa=2e6+50;
int n,a[maxn];
PII dp[maxa];
void updata(int x,int pos)
{
    if(dp[x].first<pos)
    {
        dp[x].second=dp[x].first;
        dp[x].first=pos;
    }
    else if(dp[x].second<pos&&pos!=dp[x].first)  //注意first和second的位置不能相同
        dp[x].second=pos;
}
void get_dp()
{
    for(int x=maxa-1;x>=0;x--)   //从大到小更新
    {
        for(int i=20;i>=0;i--)
        {
            if(((x>>i)&1)==1)    //枚举x为1的二进制位
            {
                updata(x^(1<<i),dp[x].first);     //更新 把x的一个为1的二进制位变为0的子集
                updata(x^(1<<i),dp[x].second);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        updata(a[i],i);
    }
    get_dp();
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n-2;i++)
    {
        int w=0;
        for(int j=20;j>=0;j--)
        {       //找到a[i]为0的二进制位
            if(((a[i]>>j)&1)==0&&dp[w|(1<<j)].first>i&&dp[w|(1<<j)].second>i)
                w=w|(1<<j);
        }
        ans=max(ans,a[i]|w);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}