【Educational Codeforces Round 80（div2）】D-Minimax Problem （二分+按位或）

一、题目链接

https://codeforces.com/contest/1288/problem/D

二、题意

给定n个数组 $a_1$， $a_2$，……， $a_n$, 每个数组有m个整数。用 $a_{x,y}$ 描述第x个数列的第y个数。

你可以选出任意数列 $a_i$ 、 $a_j$（1≤i,j≤n，i与j可以相等），从中得到同样有m个整数的新数列{ $b_m$}，使得对于任意k∈[1,m] $b_k$ = max( $a_{i,k}$, $a_{j,k}$)

对于一个数列{ $b_m$}，存在最小值min。有你的目标是找出所有min的最大值。输出这个值所在的两行行序号。（从1开始）

三、数据范围

1 ≤ n ≤ 3 * $10^5$

1 ≤ m ≤ 8

四、解题思路

一句话概括题意，找同列两个数最大值的同行最小值的最大值。

寻找“最小值的最大值”，可以想到二分查找。怎么判断当前mid是否为正确结果呢？

在某个新获取的数列{ $b_m$}中，存在最小值min。由题意，只需要确认 mid = min 在一个数列{ $b_m$}成立，就可以更新下界，进行下一步查找了。但仅仅枚举数列{ $b_m$}就是n*n*m，我们需要更优的算法。

数列{ $b_m$}的获取方式是比较某两个数列对应位置的数字，再加上m数据范围的特殊性，我们有了按位或的思路。

对于数列 $a_i$ 、 $a_j$，将其中≥min的数字换成1，＜min的数字换成0，再进行按位或，必将得到一个全为1构成的数列P。

我们来看一下按位或的规则：

1|0=1

1|1=1

0|0=0

0|1=1

其实这个操作过程就是题目的“取大值”。数列P即为按上述规则修改后的数列b。

以样例第一行和第五行为例：

由

5 0 3 1 2

2 3 0 6 3

得到

5 3 3 6 3 → min=3

修改原数列：

5 0 3 1 2 → 1 0 1 0 0

2 3 0 6 3 → 0 1 0 1 1

按位或后 → 1 1 1 1 1

核心思路：二分查找时，对每一行，将>=mid的值改为1，<mid的数字改为0，一行转存为一个二进制数。得到的二进制数范围为[0, $2^m$) 。在这个范围进行按位或，若得到 $2^m-1$，（含m个1的二进制数），则mid = min。这个mid保存为可能的答案。

五、AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
 
int n, m, a[300005][10], ans, ans1, ans2, x[300];
//ans是题目寻找的最大值，ans1、ans2为要求输出的行序号 

bool check(int k)
{
    memset(x, 0, sizeof(x)); //记得初始化！！！
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int tot = 0; //tot为这一行转换01后的二进制数
        for (int j = 0; j < m; j++)
            if (a[i][j] >= k) tot += (1 << j); 
        		//else tot += (0 << j)；
        x[tot] = i + 1; //x[num]记录该数列在第几行
    }
    for (int i = 0; i < (1 << m); i++)
        for (int j = i; j < (1 << m); j++)
        {
            if (x[i] && x[j] && (i | j) == (1 << m) - 1) 
            //x[i]和x[j]表示的二进制数都存在于输入中
            {
                ans1 = x[i];
                ans2 = x[j];
                return 1;
            }
        }
    return 0;
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    int l = 1000000000, r = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < m; j++)
        {
            cin >> a[i][j];
            if (a[i][j] < l) l = a[i][j];
            if (a[i][j] > r) r = a[i][j];
        }
    ans = l;
    while(l <= r) //二分查找模板
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid))
        {
            l = mid + 1;
            ans = mid;
        }
        else r = mid - 1;
    }
    cout << ans1 << ' ' << ans2;
    return 0;
}

呜呜呜，俺也是刚开始写题解，若有表述不清还请多多包涵QAQ