数学形态学处理—膨胀腐蚀与开闭运算

对图像进行分析时，往往是把图像进行分割，并用其二值图像进行分析，对二值图像首先要提取目标物，然后对不同目标物的特征差异进行描述与计算，最后获得所需要分析的结果

在提取目标物的过程中存在以下难题：

1. 提取的目标中存在伪目标
2. 在多目标的情况下存在粘连和断裂
3. 多个目标形态不同

1 膨胀与腐蚀运算

要解决上述问题，就需要运用数学形态学的一些方法，腐蚀与膨胀是形态学处理的基础，许多形态学算法都是在这两种运算的基础上进行拓展的。

1.1 膨胀运算

1.1.1 定义

集合 $A$被集合 $B$膨胀，定义为： $A\oplus B=\{\ z|(\hat B)_z\cap A\neq\varnothing\ \}$其中集合 $B$也称为结构元素； $(\hat B)_z$表示 $B$的反射平移 $z$后得到的新集合

于是该定义式解释为：若 $(\hat B)_z$能击中 $A$，则其所有 $z$点组成的集合称为 $A$对 $B$的膨胀

实例：

1.1.2 不同结构元素对原始图像的影响

不同结构元素长宽的设计会使原图像膨胀后的形态各不相同，例如下图展示了长宽分别为 $\frac{d}{4}×\frac{d}{4}$和 $d×\frac{d}{4}$的结构元素对原始图像进行膨胀运算后的结果：

1.1.3 应用场景

膨胀运算的一些经典应用：
1.1.3.1 桥接裂缝

1.1.3.2 填充孔洞

1.2 腐蚀运算

1.2.1 定义

集合 $A$被集合 $B$腐蚀，定义为： $A\ominus B=\{\ z|(B)_z\subseteq A\ \}$其中集合 $B$也称为结构元素； $(\hat B)_z$表示 $B$平移 $z$后得到的新集合

于是该定义式解释为：若 $(B)_z$仍包含于 $A$中，则其所有 $z$点组成的集合称为 $A$对 $B$的腐蚀

腐蚀的结果表现在原图的外围被剥除：

1.2.2 不同结构元素对原始图像的影响

不同结构元素长宽的设计会使原图像腐蚀后的形态各不相同，例如下图展示了长宽分别为 $\frac{d}{4}×\frac{d}{4}$和 $d×\frac{d}{4}$的结构元素对原始图像进行腐蚀运算后的结果：
这里要注意的是，若结构元素 $B$是对称的，即 $\hat B=B$，则原图 $X$被 $B$、 $\hat B$腐蚀的结果一样；若结构元素 $B$是非对称的，则原图 $X$被 $B$、 $\hat B$腐蚀的结果不同

1.3 膨胀与腐蚀运算的性质

1.3.1 对偶性

膨胀与腐蚀运算可以相互转换，对目标进行膨胀就是对背景进行腐蚀，反之同理
$(X\ominus B)^{\complement}=X^\complement\oplus\hat B^\complement$ $(X\oplus B)^{\complement}=X^\complement\ominus\hat B^\complement$

1.3.2 互换性

膨胀运算具有互换性，即结构元素对原图进行操作的顺序可以互换，但腐蚀运算不具有互换性
$(X\oplus B_1)\oplus B_2=(X\oplus B_2)\oplus B_1$ $(X\ominus B_1)\ominus B_2\neq (X\ominus B_2)\ominus B_1$

1.3.3 组合性

若结构元素可分解，即有 $B=B_1+B_2$，则有： $X\oplus B=X\oplus(B_1\oplus B_2)=(X\oplus B_1)\oplus B_2$在结构元素较大时可以将之分解以提高运算速度

2 开运算与闭运算

膨胀与腐蚀运算对目标物的后期处理有非常好的作用，但同时却改变了原目标的大小。考虑到膨胀与腐蚀是一对对偶运算，将膨胀与腐蚀运算相结合，便构成了开运算与闭运算

2.1 开运算

使用结构元素 $B$对集合 $X$进行开运算，定义为： $A\circ X = (A\ominus B)\oplus B$常见应用：

1. 消除细小对象
2. 消除微小连粘
3. 平滑目标边缘

例如：

在进行开运算的过程中需要注意的是，若结构元素 $B$非对称，则做膨胀运算时应用 $B$的对称集 $\hat B$，否则开运算结果将发生平移

2.2 闭运算

使用结构元素 $B$对集合 $X$进行闭运算，定义为： $A\bullet X = (A\oplus B)\ominus B$常见应用：

1. 填充对象内部细小空洞
2. 连接邻近对象
3. 平滑目标边缘

例如：

同样的，若结构元素 $B$非对称，则做膨胀运算时应用 $B$的对称集 $\hat B$，否则闭运算结果将发生平移

2.3 开闭运算的性质

2.3.1 对偶性

开闭运算可以相互转换，对目标进行开运算就是对背景进行闭运算，反之同理 $\text{OPEN}(X)^\complement=\text{CLOSE}(X^\complement)$ $\text{CLOSE}(X)^\complement=\text{OPEN}(X^\complement)$

2.3.2 开运算性质

1. 缩小性： $X\circ B$是 $X$的子集
2. 单增性：若 $X_1$是 $X_2$的子集，则 $X_1\circ B$是 $X_2\circ B$的子集
3. 单运算性： $(X\circ B)\circ B = X\circ B$

2.3.3 闭运算性质

1. 扩大性： $X$是 $X\bullet B$的子集
2. 单增性：若 $X_1$是 $X_2$的子集，则 $X_1\circ B$是 $X_2\circ B$的子集
3. 单运算性： $(X\bullet B)\bullet B = X\bullet B$