[洛谷P3974] TJOI2015 组合数学

问题描述

为了提高智商,ZJY开始学习组合数学。某一天她解决了这样一个问题：给一个网格图,其中某些格子有财宝。每次从左上角出发,只能往右或下走。问至少要走几次才可能把财宝全捡完。

但是她还不知足,想到了这个问题的一个变形:假设每个格子中有好多块财宝,而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝,其他条件不变,至少要走几次才可能把财宝全捡完?

这次她不会做了,你能帮帮她吗?

输入格式

第一行为一个正整数t,表示数据组数

每组数据的第一行是两个正整数n和m,表示这个网格图有n行m列。

接下来n行,每行m个非负整数,表示这个格子中的财宝数量(0表示没有财宝)。

输出格式

对于每组数据,输出一个整数,表示至少走的次数。

样例输入

1
3 3
0 1 5
5 0 0
1 0 0

样例输出

数据范围

对于30%的数据,n≤5.m≤5,每个格子中的财宝数不超过5块。

对于50%的数据,n≤100,m≤100,每个格子中的财宝数不超过1000块

对于100%的数据,n≤1000,m≤1000,每个格子中的财宝不超过10^6块

解析

不妨将每一个财宝都看作是一个点，那么所有财宝构成了一个DAG。问题就是求DAG的一个最小路径覆盖。接下来，我们需要一个结论：

Dilworth定理：DAG的最小链覆盖=最大点独立集最小链覆盖指选出最少的链(可以重复)使得每个点都在至少一条链中

对于一个矩阵图（即使我们把每一个财宝都看成是点，这个图仍可以看做是矩阵图），最大独立集中的任意两个点一定可以构成左下—右上的关系。不妨考虑DP来解决这个问题。设\(f[i][j]\)表示以点\((i,j)\)为左下角的矩阵中的最大独立集大小。首先考虑继承关系，我们有
\[ f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j+1]) \]
然后，我们有
\[ f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j+1]+a[i][j]) \]
状态转移即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define int long long
#define N 1002
using namespace std;
int t,n,m,i,j,a[N][N],f[N][N];
int read()
{
    char c=getchar();
    int w=0;
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c<='9'&&c>='0'){
        w=w*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return w;
}
signed main()
{
    t=read();
    while(t--){
        n=read();m=read();
        for(i=1;i<=n;i++){
            for(j=1;j<=m;j++) a[i][j]=read();
        }
        for(i=1;i<=n;i++){
            for(j=m;j>=1;j--){
                f[i][j]=max(f[i][j+1],f[i-1][j]);
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j+1]+a[i][j]);
            }
        }
        printf("%lld\n",f[n][1]);
    }
    return 0;
}