CF461D Complicated Task

2.5寒假训练 Complicated Task (Standard IO)
Time Limits: 1000 ms Memory Limits: 262144 KB
Description

Input

Output

Sample Input

3 2
1 1 x
2 2 o

Sample Output

2

Data Constraint
对于30%的数据，N<=15
对于100%的数据，N,K<=10^5

---

解题思路

已知了第一行，就能知道整幅图的样子了：
假设第i行j个为$f[i][j]$那么为了满足$(i-1,j)$满足条件，有

$$f[i][j]\bigoplus f[i-1][j-1]\bigoplus f[i-1][j+1]\bigoplus f[i-2][j]=0$$ 也就是 $$f[i][j]= f[i-1][j-1]\bigoplus f[i-1][j+1]\bigoplus f[i-2][j]$$
观察图与第一行的关系：

像这样黑白格分块，每一个黑格都对应着第一行某连续子黑格的异或，算出构成格子 $(x,y)$的异或区间为 $(1,(\max\{x-y,y-x\}-1,\min\{2n-x-y+1,x+y-1\}])$。
想到 $\bigoplus_{i\in(l,r]}a[x]=S[l]\bigoplus S[r]$（其中 $S[x]=\bigoplus_{i\in[0,x]}a[x]$。
当 $(x,y)$已知时，令 $l=\max\{x-y,y-x\}-1,r=\min\{2n-x-y+1,x+y-1\}$
若 $a(x,y)=1('o')$则 $S[l]^S[r]=1$有 $S[l]\not=S[r]$
同理若 $a(x,y)=0('x')$则 $S[l]=S[r]$知道了所有 $S[]$通过异或可以知道第一行，进而知道整个矩阵。

问题转化成了给出相等与不相等的限制，输出方案数，并查集维护。
将每个点分裂成两个x0,x1
l0与r0、l1与r1连通表示S[l]=S[r]
l1与r0、r1与l0连通表示S[l]≠S[r]
若限制矛盾，输出0，
答案一定为$2^k$k为不在非含0联通块的联通块个数(S[0]=0)

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 100100
#define mo 1000000007

using namespace std;

int fa[N+N],k,n;
bool p=1;

int get(int x){return x==fa[x]?x:(fa[x]=get(fa[x]));}
void mersame(int x,int y){
    int a0=get(x+x-1),a1=get(x+x),b0=get(y+y-1),b1=get(y+y);
    if(a0==b1 || a1==b0)p=0;else fa[b0]=a0,fa[b1]=a1;
}
void merdiff(int x,int y){
    int a0=get(x+x-1),a1=get(x+x),b0=get(y+y-1),b1=get(y+y);
    if(a0==b0 || a1==b1)p=0;else fa[b1]=a0,fa[b0]=a1;
}

int main(){
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n+n+4;i++)fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int x,y;scanf("%d %d ",&x,&y);char c=getchar();
        int h=max(x-y,y-x)+1,t=min(2*n-x-y+1,x+y-1)+2;
        if(c=='o')merdiff(h,t);else mersame(h,t);
        if(!p)break;
    }
    if(p){
        int ans=1;
        for(int i=1;i<=n+n+4;i++)get(i);
        for(int i=5;i<=n+n+4;i+=2)
            if(fa[i]==i && i!=fa[1] && i!=fa[2] && i!=fa[3] && i!=fa[4])ans=ans*2%mo;
        printf("%d",ans);
    }else printf("0");
}