最小自然数原理：自然数集合N的任一非空子集T必有最小元素存在，即存在自然数t0∈T，使对任意的t∈T，必有t0≤t。
证：考虑由所有这样的自然数s组成的集合S：对任意的t∈T，必有s≤t。由于对于任意的t∈T，必有e≤t。(e是Peano公理中的唯一没有前导的元素,即对于任意a∈N,都有a≥e)所以e∈S，S非空。另外，若t1∈T(T非空所有必有t1)，则t1+e＞t1，所以t1+e不属于S.由这两点及归纳公理就推出：必有s0∈S，使得s0+e不属于S（这一点，我们可以反证：若不存在s0∈S，使得s0+e不属于S，即对于任意s0∈S，都有s0+e∈S。由于e∈S，根据归纳公理可知，S=N。而我们已经知道必有t1∈T，使得t1+e不属于S，即必有自然数不属于S，所以S≠N。矛盾。故必有s0∈S，使得s0+e不属于S）。我们来证明这样的s0必属于T。因若不然，由集合S的定义知，对任意的t∈T必有t＞s0成立，由此及性质a>b?a≥b+=b+e 。由定义知s0+e∈S，矛盾。故s0∈T，不妨取t0=s0。得证。