谐振子方程

设谐振子质量为 $m$，弹簧弹性系数为 $k$，由胡克定律及牛顿运动定律,有
$m\ddot{x}=-kx$

其中 $x$为偏离平衡位置的距离， $\ddot{x}$为 $x$对时间 $t$的二阶导数，即加速度。该方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为
$mr^2+k=0$

解得
$r=\pm\sqrt{\frac{k}{m}}i$

其中 $i$ 为虚数单位。令 $\omega=\sqrt{k/m}$，则运动方程的通解为
$x(t)=C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t) = A_0 \sin(\omega t + \psi_0)$

其中 $A_0$和 $\psi_0$由初始条件确定。

将形如
$\ddot{x}+\omega^2 x=0$

的方程称为谐振子方程，其解为一个正弦函数（或余弦函数，两者相位相差 $90^{\circ}$），角速度为 $\omega$，初相位为 $\psi_0$，振幅为 $A_0$，均可由初始条件确定出来。同样，如果一个物理量是时间的正弦函数，那么该物理量的变化称为简谐振动。

谐振子的运动速度大小
$v=\frac{dx}{dt}=A_0\omega \cos(\omega t + \psi_0)$

加速度大小
$a=\frac{dv}{dt}=-A_0\omega^2 \sin(\omega t + \psi_0)$

运动周期
$T=\frac{2\pi}{\omega}$

频率
$\nu=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$

谐振子的动能
$K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mA_0^2\omega^2 \cos^2(\omega t + \psi_0)$

势能
$V=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA_0^2 \sin^2(\omega t + \psi_0)$

总的机械能
$E=K+V=\frac{1}{2}mA_0^2\omega^2 \cos^2(\omega t + \psi_0)+\frac{1}{2}kA_0^2 \sin^2(\omega t + \psi_0)=\frac{1}{2}kA_0^2=\frac{1}{2}m\omega^2A_0^2$