Lucky Coins——浅析概率

一.古典概率

定义：设一个实验有n个等可能的结果，而事件E恰包含其中的M个结果，则事件E的概率，记为 $P(E)$，定义为 $P(E)=M/N$
说得这么高深，其实就是小学就学过的那种概率，这里就够用了。

二.典例讲解

1.题目

传送门
题意：给出n种硬币，每种有个数和存活的概率，一直刷，直到没有硬币或者只有一种硬币存活下来，输出每种硬币最后存活的概率。

2.题解

这道题目乍一看其实并不难，只需几个公式就可以推出来。
首先，我们定义一个DP数组：dp[i][j]表示第i种硬币，前j轮被淘汰的概率。
容易想到，第i种硬币第j轮被淘汰的概率是： $p_{i}^{j-1}(1-p_{i})$
（p[i]是这种硬币正面朝上的概率）
所以i在前j轮被淘汰的概率就是
$\begin{aligned} dp[i][j]=&[p_{i}^{0}(1-p_{i})+p_{i}^{1}(1-p_{i})+...+p_{i}^{j-1}(1-p_{i})]^{num_{i}}\\ =&[(p_{i}^{0}+p_{i}^{1}+...+p_{i}^{j-1})(1-p_{i})]^{num_{i}}\\ =&(1-p_{i}^{j})^{num_{i}} \end{aligned}$
等比公式跟得上吧。
那么其坚持了j轮的概率就是
$1-dp[i][j]$
所以就有第i种硬币坚持了j轮，第j轮只有它留下来的概率：
$[(1-dp[i][j])-(1-dp[i][j + 1])]*\Pi_{k\neq i}dp[k][j]$
至于为什么要减 $1-dp[i][j+1]$，就是因为，我们要排除他重复的可能性，也就是说这一轮这种硬币活了下来，那么下一轮就让它被全部拿完，否则就会多算，答案会出错。
那么，最后的答案就是把所有的i种硬币j轮赢的概率加起来就行了。至于有多少轮，你自己可以试一下，10,20,30.。。。

3.Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

int k, t, num[15];
double p[15], dp[15][1005], pai[1005], ans[15];

double qkpow (double x, int y){
    double sum = 1.0;
    while (y){
        if (y & 1)
            sum *= x;
        x *= x;
        y >>= 1;
    }
    return sum;
}
int main (){
    scanf ("%d", &k);
    while (k --){
        for (int i = 1; i <= 1000; i ++)
            pai[i] = 1.0;
        scanf ("%d", &t);
        for (int i = 1; i <= t; i ++)
            ans[i] = 0.0;
        for (int i = 1; i <= t; i ++)
            scanf ("%d %lf", &num[i], &p[i]);
        if (t == 1){
            printf ("1.000000\n");
            continue;
        }
        for (int i = 1; i <= t; i ++){
            double cnt = 1.0;
            dp[i][0] = p[i];
            for (int j = 1; j <= 1001; j ++){
                cnt *= p[i];
                dp[i][j] = qkpow (1.0 - cnt, num[i]);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= t; i ++){
            for (int j = 1; j <= 1000; j ++){
                double cnt = 1.0;
                for (int k = 1; k <= t; k ++){
                    if (k != i)
                        cnt *= dp[k][j];
                }
                ans[i] += ((1.0 - dp[i][j]) - (1.0 - dp[i][j + 1])) * cnt;
            }
        }
        for (int i = 1; i < t; i ++)
            printf ("%.6f ", ans[i]);
        printf ("%.6f\n", ans[t]);
    }
    return 0;
}

三.Sum up

讲了以上那道经典的概率题目，相信大家一定受益匪浅吧，所以古典概率最好的地方就是所有的元素都是平等的，要充分利用这个条件，考虑周全所有的情况（最好模拟一遍），就可以解题了。

谢谢!