【Leetcode】701. Insert into a Binary Search Tree

题目地址：

https://leetcode.com/problems/insert-into-a-binary-search-tree/

在二叉搜索树里插入一个值。首先要明确，在一个二叉搜索树中插入一个值val，其定义是什么。
从数学上来讲，二叉树本质上是个有序的二叉根树。集合论上，任何一个图都可以表示为顶点上的二元关系集。而插入一个节点或者修改一个节点，本质上是更新这个二元关系集。所以在执行插入或者修改操作的时候，一定要注意这个关系集有没有被修改，否则就是无用功。

现在我们来考虑，在二叉搜索树中插入一个值val的定义。这里的定义是递归的：
1、若树为空树，则新建一个node其值为val，并将其作为树根；
2、否则，若val小于树根，则向其左子树插入val；若val大于树根，则向其右子树插入val；若等于，则不插入。

需要注意的是，新建一个node的行为，对关系集并没有做修改，只是对顶点集作了修改，也就是给顶点集新加了一个顶点。而只有树空的时候，可以只对顶点集进行修改，因为这个时候二元关系集并没有变化（也就是没有产生新的边）；如果树不空，这就要对二元关系集进行修改，在这个case里，就是加上一条新的边。这一点在代码中要有所体现。

法1：DFS。

public class Solution {
    public TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
        if (root == null) {
            return new TreeNode(val);
        }
        
        if (val < root.val) {
        	// 这里主要考虑的是root.left == null的情况，利用此method的signature，给BST加上一条新边
            root.left = insertIntoBST(root.left, val);
        } else if (val > root.val) {
            root.right = insertIntoBST(root.right, val);
        }
        
        return root;
    }
}

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left, right;
    TreeNode(int x) {
        val = x;
    }
}

时空复杂度 $O(h)$。 $h$为树的高度。最差情况在最下面一层叶子插入。

法2：

public class Solution {
    public TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
        if (root == null) {
            return new TreeNode(val);
        }
        
        TreeNode cur = root;
        while (true) {
            if (val < cur.val) {
                if (cur.left == null) {
                    cur.left = new TreeNode(val);
                }
                cur = cur.left;
            } else if (val > cur.val) {
                if (cur.right == null) {
                    cur.right = new TreeNode(val);
                }
                cur = cur.right;
            } else {
                return root;
            }
        }
    }
}

时间复杂度 $O(h)$，空间 $O(1)$。