1.5 群的同构

§5 群的同构

定义1.5.1（同构）

设 $G$ 和 $G'$ 是两个群。若有一个从 $G$ 到 $G'$ 的双射 $\sigma$ ，它对于所有的 $x,y \in G$ 有
$\sigma(xy) = \sigma(x) \sigma(y)$
则称 $G$ 同构于 $G'$ 。具有以上性质的双射称为 $G$ 到 $G'$ 的一个同构映射，或简称同构。

注：

1. 由定义显见：同构映射将单位元素映到单位元素，将逆元素映到逆元素。
2. 群的同构作为群之间的一种关系，满足自反性、对称性和传递性。
3. 在同构映射下，对应的元素在各自的运算下具有相同的代数性质。
4. 在抽象地研究一个群时，无需对同构的群加以区别。

在历史上，群论最早研究的就是变换群，抽象群的概念也是从变换群的概念中抽象而来的。

定理1.5.1（Cayley定理）

任何一个群都同构于某一集合上的变换群。

证明

设 $G$ 是一个群。对于每个 $a \in G$ ，定义同一个集合 $G$ 的变换 $\sigma_{a}$ 如下：
$\sigma_{a}(x) = ax, x \in G.$
先证明 $\sigma_{a}$ 是 $G$ 的可逆变换。显然：
$\sigma_{\alpha^{-1}} \sigma_{\alpha} (x) = \sigma_{\alpha^{-1}}(ax)= a^{-1}ax=x,$

$\sigma_{\alpha} \sigma_{\alpha^{-1}}(x) = \sigma_{\alpha}(a^{-1}x)= aa^{-1}x=x.$

也就是说， $\sigma_{\alpha} \sigma_{\alpha^{-1}}(x)$ 和 $\sigma_{\alpha^{-1}} \sigma_{\alpha}$ 都是单位变换。即：
$\sigma^{-1}_{\alpha} = \sigma_{\alpha^{-1}},$
因此 $\sigma^{a}$ 是可逆变换。

这样，我们即得到集合 $G$ 的一些可逆变换所组成的集合：

$G^{l} = \{\sigma_{a} | a \in G\}.$
下证 $G_{l}$ 是变换群:

对于 $\sigma_{a},\sigma_{b} \in G_{l}$，有：

$\sigma_{a} \sigma_{b}^{-1} (x) = \sigma_{a}\sigma_{b^{-1}}(x) = ab^{-1}(x)= \sigma_{ab^{-1}}(x),$

即：

$\sigma_{a}\sigma_{b}^{-1} = \sigma_{ab^{-1}} \in G_{l},$
由定理1.4.1知： $G_{l}$ 是一变换群。下证同构：

因为
$\sigma_{a}(e) = a,$
故当 $a \neq b$ 时， $\sigma_{a} \neq \sigma_{b}.$ 这说明：映射
$a \mapsto \sigma_{a}$
为 $G$ 到 $G_{l}$ 的一个一一对应。由
$\sigma_{a}\sigma_{b} = \sigma_{ab}$
知上面的映射是一个同构。定理证毕。 $\blacksquare$

定义1.5.2（平移和正则表示）

称变换 $\sigma_{a}$ 为元素 $a$ 在 $G$ 上引起的 左平移，变换群 $G_{l}$ 称为群 $G$ 的
左正则表示。

若定义右平移
$\tau_{a}(x) = xa^{-1}$
则 $G_{r}=\{\tau_{a} | a \in G \}$ 称为 $G$ 的右正则表示。