下面我们讨论群$G$到$G'$的映射。
一、 同态与同构
定义 设有两个群$G$和$G'$. 若存在一个映射$f: G\rightarrow G',a\rightarrow f(a)$,且满足
$$f(a\circ b)=f(a)\circ f(b),\quad \forall a,b\in G.$$
则称$f$是$G\rightarrow G'$的一个同态，记作$G\sim G'$.
注: 同态定义中等式左边为$G$中乘法，而等式右边为$G'$中的乘法。
定义 若映射$f$是$G\rightarrow G'$的同态映射，且是一一映射，则称$f$是$G\rightarrow G'$的同构映射，
并称$G'$同构于$G$，记作$G\cong G'$. 如果同构映射$f: G\rightarrow G$，那么称$f$为群$G$的自同构。
如果$G'$与$G$同态，$G'$只是部分地反映了$G$的性质。但当$G'$与$G$同构时，在抽象意义上，$G'$与$G$的构造是完全一样的，即在代数上可以认为是一样的。
定义 把$G$的两个自同构$f_1$和$f_2$的乘积$f_1\circ f_2$定义为先映射$f_2$再$f_1$.恒等映射$f_0$对应单位元，且每个自同构均有逆$f^{-1}$存在。又映射有结合律，故群$G$的所有自同构$f$构成一个群，称这个群为群$G$的自同构群，记作$A(G)$或$Aut(G)$.
定义 设$f: G\rightarrow G'$是一个同态映射，我们定义同态象$Im(f)$及同态核$Ker(f)$为
$$Im(f)=\{f(g)|g\in G\},\quad Ker(f)=\{g|g\in G, f(g)=e'\}$$.
定理2.5 $Im(f)$是$G'$的一个子群，而$Ker(f)$是$G$的一个正规子群。当$f$是$G$到$G'$上的映射时，$G'$同构于商群$G/Ker(f)\cong Im(f)$.
定理2.6 一个同态成为同构的充要条件是$Ker(f)=e,\,Im(f)=G'$.
下面我们讨论更复杂的同态映射链，即同态序列。
定义 对于同态映射$f$和$g$的序列$G_1\xrightarrow{f} G_2\xrightarrow{g} G_3$, 如果有$Im(f)=Ker(g)$，即序列中同态$f$的象等于下一个同态$g$的核，那么称它在$G_2$处是正合的。