1.8 环和子环

§8 环和子环

先前介绍的群是具有一个代数运算的代数结构。下面介绍具有两个代数运算的代数结构。

定义1.8.1（环）

设 $L$ 是一个非空集合，在 $L$ 上定义了两个代数运算：加法和乘法。若其具有以下性质：

1. $L$ 对于加法成一个交换群 （在这个群中定义的运算是乘法运算）
2. 满足乘法结合律
3. 满足乘法对加法的分配律

则称其为一个环.

由定义可推出环的一系列基本性质：

1. 用 $0$ 代表环中加法群的零元素，对所有 $a \in L$ 有 $a0 = 0a = 0.$
2. 对所有的 $a,b \in L$，有：
   $(-a)b = a(-b) = -ab,$
   $(-a)(-b) = ab.$
3. 对于正整数 $n$ ，可以定义 $na$， $a^{n}$.

注：在环中，一般不能定义 $a^{0}$ 和 $a^{-n}.$

定义1.8.2（子环）

设 $S$ 是环 $L$ 的一个非空子集合。若 $S$ 对于 $L$ 的两个运算也成一环，则称 $S$ 为 $L$ 的一个子环。

和群一样，环也有同构的概念：

定义1.8.3（环的同构）

设 $L$ 和 $L'$ 是两个环。若有一个 $L$ 到 $L'$ 的一一对应 $\sigma$ ,它具性质：

1. $\sigma(a + b) = \sigma(a) + \sigma(b)$
2. $\sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(b)$

其中 $a,b \in L;$ 则 $L$ 成为和 $L'$ 同构。具以上性质的映射 $\sigma$ 成为一个同构映射.

环的同构同样是一种等价关系，具有自反性、对称性、传递性。