积分换元法中换元单调性问题的讨论

积分换元法中换元单调性问题的讨论

积分换元法中，换元必须保证所换的新元是旧元的单调函数,但在求值域过程中不用考虑换元单调性问题。

以下讨论均为求解积分过程中的换元法

原理：

用t代换一个x的函数f(x)，t=f(x)

在运算过程中你会把x用t表示出来，（因为要求出dx是多少）相当于求f(x)的反函数

函数有反函数就要求函数是单调函数，故换元必须保证单调性问题

即：新换的元必须保证是原来元的单调函数，这一点在高等数学求积分时一定要注意。

举例：

$\int_{-1}^2x^2dx ={2^3\over3}-{{-1}^3\over3}=3$
如果令x²=t,则,
$x={\sqrt t},*错误就发生在这一步*，$
其实如果分段使用换元法，那么换元法也可以使用，我们使用换元法，相当于令t=f(x)，然后反解出x，代入表达式中换成新元的函数，但是好多情况下我们在原来的式子中已经凑配好了新元的形式，所以在换元时直接用新元t代替了凑配的形式，从而忽略了换元时对单调性的要求。
$dx=\frac{dt}{2\sqrt t}$
$原式=\int_{1}^4t \frac{dt}{2\sqrt t} ={7\over3}$
本例换元法出错的原因就在于t不是x的单调函数，

一个t值可能对应着多个x,这样在无法解出
$t=f(x) 的反函数 x=g(t)，不满足一对一关系，所以换元法不能使用。$