这两个东西都是处理字符串回文子串问题的有力工具。
引入
如果让你求你个字符串的最长奇回文子串，怎么求？
我会\(n^2\)暴力！枚举对称中心点\(i\)，再左右拓展枚举回文半径\(j\)。
......
for(int i=0;i<len;i++) {
int j=1;
while(i-j>=0 && i+j<len && s[i-j]==s[i+j]) j++;
ans=max(ans,j*2-1);
}
......如果字符串长度\(len\)很大，这个暴力就不行了。
Manacher算法 马拉车
算法流程
其实这个算法也是暴力，只不过是在上面的基础上加了一些优化。
众所周知，暴力之所以超时是因为做了很多重复的计算，那我们考虑一下能不能利用之前算过的答案来进行优化。
假设现在枚举到\(i\)，之前有个回文串，它的中心对称点为\(mid\)，这个串的右边界为\(R\)，是\(i\)之前所有回文串最靠右的。
如果\(i<R:\)
那么我们可以找到\(i\)的对称点\(i'\)，假设以\(i'\)为中心的回文半径为\(r(i')\)。
当以\(i'\)为中心的回文串并没有扩出去，可以发现\(r(i)=r(i')\)。
因为它们都是处在以\(mid\)为中心的回文串内，所以上面\(i'\)的那个回文串（矩形部分）放到\(i\)那里是一样的（因为它们关于\(mid\)对称）。
而且\(i\)也不能继续扩展了，因为\(i'\)最多只能扩到\(r(i')\)，再扩展两边就不一样了，那么对称到\(i\)这边也同理。
当以\(i'\)为中心的回文串扩出去了呢？
因为在\(R\)右边的字符是未知的，不知道能不能对应到\(i'\)那边，所以此时的\(r(i)=R-i+1\)。
然后我们就可以暴力扩展了，顺便更新\(mid=i\)，右边界\(R=i+r(i)-1\)。
如果\(R<i:\) 继续暴力扩展及更新。
时间复杂度
可以发现每次要么拓展，要么\(O(1)\)得到答案，当\(R\)扩展到\(len\)时，就不能执行\(while\)循环了，所以总的复杂度是\(O(n)\)。
一些补充
可是通常题目求的不是奇回文子串，而是奇偶都包括的，偶回文子串怎么求？
在字符之间加一些插板就\(OK\)了。
例如：把abababa变成#a#b#a#b#a#b#a#。
可以发现答案就是最大的\(r(i)-1\)，画一下样例应该就明白了。
建议可以把再在开头和末尾加上两个不相同的字符，例如：#a#b#c#变成@#a#b#c#&，这样就不用判断边界了。
代码实现
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN=11000005;
int n;
char s[MAXN],t[MAXN<<1];
int ans,r[MAXN<<1];
void manacher() { // 开始拉车
int mid=1,R=1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
// 优化
if(i<=R) r[i]=min(r[mid*2-i],R-i+1);
else r[i]=1;
while(t[i+r[i]]==t[i-r[i]]) r[i]++; // 扩展
if(R<i+r[i]-1) mid=i,R=i+r[i]-1; // 更新
ans=max(ans,r[i]);
}
}
int main() {
scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);
// 插一些字符
for(int i=1;i<=n;i++) t[i<<1]=s[i],t[(i<<1)-1]='#';
t[n=n<<1|1]='#',t[0]='&',t[n+1]='@';
manacher();
printf("%d\n",ans-1);
return 0;
}当然也可以写简单点把\(if\)去掉
void manacher() {
int mid=1,R=2;
for(int i=2;i<=n;i++) {
r[i]=min(r[mid*2-i],R-i);
while(t[i+r[i]]==t[i-r[i]]) r[i]++;
if(R<i+r[i]) mid=i,R=i+r[i];
ans=max(ans,r[i]);
}
}练习题：
回文自动机\((PAM)\)
未完待续......