如何通俗地解释泰勒公式？(转)

我前两天还说我的朋友阅读时都喜欢看图，没有一些萌妹子的图片都吸引不来，今天我就被打脸，看高数泰勒公式理解不了，课本直接给出定义然后用拉格朗日中值定义给出了证明，然后我就凌乱了......我学东西总喜欢先想这个东西有什么用，为什么要这么用，国内的一些课本作为一本工具书查找定理倒是很不错，但很少去涉及后面的原理、由来、演变等。

转载自 https://www.matongxue.com/madocs/7.html

公众号：马同学高等数学

泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。

先来感受一下：

设 $n$ 是一个正整数。如果定义在一个包含 $a$ 的区间上的函数 $f$ 在 $a$ 点处 $n+1$ 次可导，那么对于这个区间上的任意 $x$ 都有： $\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^ n+R_ n(x)$ ，其中的多项式称为函数在 $a$ 处的泰勒展开式， $R_ n(x)$ 是泰勒公式的余项且是 $(x-a)^ n$ 的高阶无穷小。----维基百科

泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果 $a=0$ 的话，就是麦克劳伦公式，即 $\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n+R_ n(x)$ ，这个看起来简单一点，我们下面只讨论麦克劳伦公式，可以认为和泰勒公式等价。

1.多项式的函数图像特点

$\sum _{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n$ 展开来就是 $f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n$ ， $f(0)$ ， $\frac{f''(0)}{2!}$ 这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。

可以看到，幂函数其实只有两种形态，一种是关于 $Y$ 轴对称，一种是关于原点对称，并且指数越大，增长速度越大。

那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢？

怎么才能让 $x^2$ 和 $x^9$ 的图像特性能结合起来呢？

我们来动手试试看看系数之间如何压制的：

通过改变系数，多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线。送你一颗心（虽然是隐函数，意思一下）：

2.用多项式对 $e^ x$ 进行逼近

$e^ x$ 是麦克劳伦展开形式上最简单的函数，有 $e$ 就是这么任性。

$e^ x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots + \frac{1}{n!}x^ n + R_ n(x)$

增加一个 $\frac{1}{4!}x^4$ 看看。

增加一个 $\frac{1}{5!}x^5$ 看看。

可以看出， $\frac{1}{n!}x^ n$ 不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近 $e^ x$ 。并且 $n$ 越大，起作用的区域距离0越远。

3.用多项式对 $sin(x)$ 进行逼近

$sin(x)$ 是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。

$sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\cdots +\frac{(-1)^ n}{(2n+1)!}x^{(2n+1)}+ R_ n(x)$ 。

同样的，我们再增加一个 $\frac{1}{7!}x^7$ 试试。

可以看到 $\frac{1}{7!}x^7$ 在适当的位置，改变了 $x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5$ 的弯曲方向，最终让 $x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7$ 更好的逼近了 $sin(x)$ 。

一图胜前言，动手看看 $sin(x)$ 的展开吧：

4.泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系

拉格朗日中值定理：如果函数 $f(x)$ 满足，在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，那么至少有一点 $\theta$ ( $a<\theta <b$ )使等式 $f'(\theta )=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ 成立。----维基百科

数学定义的文字描述总是非常严格、拗口，我们来看下拉格朗日中值定理的几何意义：

这个和泰勒公式有什么关系？泰勒公式有个余项 $R_ n(x)$ 我们一直没有提。

余项即使用泰勒公式估算的误差，即 $\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^ n=R_ n(x)$

余项的代数式是， $R_ n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}$ ，其中 $a<\theta <x$ 。是不是看着有点像了？

当 $N=0$ 的时候，根据泰勒公式有， $f(x)=f(a)+f'(\theta )(x-a)$ ，把拉格朗日中值定理中的 $b$ 换成 $x$ ，那么拉格朗日中值定理根本就是 $N=0$ 时的泰勒公式。

结合拉格朗日中值定理，我们来看看 $N=0$ 的时候，泰勒公式的几何意义：

当 $N=0$ 的时候，泰勒公式几何意义很好理解，那么 $N=1,2,\cdots$ 呢？

这个问题我是这么理解的：首先让我们去想象高阶导数的几何意义，一阶是斜率，二阶是曲率，三阶四阶已经没有明显的几何意义了，或许，高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的，穿过更高维的时空才能俯视它的含义。现在的我们只是通过代数证明，发现了高维投射到我们平面上的秘密。

还可以这么来思考泰勒公式，泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中......四不四很有道理啊？

5.泰勒公式是怎么推导的？

很多同学看到这段时，可能有点看不懂，我在牛顿插值的几何解释是怎么样的？ - 知乎，这个回答里尝试重新作答了。

根据“以直代曲、化整为零”的数学思想，产生了泰勒公式。

如上图，把曲线等分为 $n$ 份，分别为 $a_1$ ， $a_2$ ， $\cdots$ ， $a_ n$ ，令 $a_1=a$ ， $a_2=a+\Delta x$ ， $\cdots$ ， $a_ n=a+(n-1)\Delta x$ 。我们可以推出（ $\Delta ^2$ ， $\Delta ^3$ 可以认为是二阶、三阶微分，其准确的数学用语是差分，和微分相比，一个是有限量，一个是极限量）：

$f(a_2)=f(a+\Delta x)=f(a)+\Delta f(x)$ $f(a_3)=f(a+2\Delta x)=f(a+\Delta x)+\Delta f(a+\Delta x)=f(a)+2\Delta f(x)+\Delta ^2f(x)$ $f(a_4)=f(a+3\Delta x)=f(a)+4\Delta f(x)+6\Delta ^2f(x)+4\Delta ^3f(x)+\Delta ^4f(x)$

也就是说，f(x)全部可以由 $a$ 和 $\Delta x$ 决定，这个就是泰勒公式提出的基本思想。据此的思想，加上极限 $\Delta x \to 0$ ，就可以推出泰勒公式。

6.泰勒公式的用处

多项式这种函数是我们可以亲近的函数，它们很开放、很坦白，心里想什么就说什么，比如 $f(x)=2-3x$ ，这个多项式会告诉我们想问的任何消息，甚至更多，譬如，我们问：“嘿，老兄，你在4那点的值是多少？”这时 $f(x)$ 会毫不犹豫的回答：“你把4代进来，就会得到 $2-3\times 4=-10$ ，顺便告诉你，我最近长了奇怪的疹子，痒的要命，还好这两天症状减轻了...”。但是 $ln(x)$ 阴暗、多疑，要是问它：“嗨，你在3的值是多少啊？”你得到的答案可能是：“你要干什么？为什么打听别人的私事？你以为凭着你那点加减乘除的三脚猫功夫就可以查出我的底细？况且我在3的值是多少，干你什么事！”----《微积分之倚天宝剑》

泰勒公式最直接的一个应用就是用于计算，计算机一般都是把 $sin(x)$ 进行泰勒展开进行计算的。

泰勒公式还可以把问题简化，比如计算， $\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}$ ，代入 $sin(x)$ 的泰勒展开有： $\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=\lim _{x \to 0}\frac{x+o(x^3)}{x}=1$ ，其中 $o(x^3)$ 是泰勒公式里面的余项，是高阶无穷小， $\displaystyle \lim _{x \to 0}o(x^3)=0$ 。