二元正态分布，多元正态分布

对于两个随机变量 $X$, $Y$，若它们服从二维正态分布，则概率密度函数为：

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{1}{1-\rho^2}\left[\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X}+\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y}-\frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y} \right]\right)$

其中两个随机变量的均值分别为 $\mu_X$， $\mu_Y$，方差分别为 $\sigma_X$, $\sigma_Y$。 $\rho$ 为两个变量的相关系数，若 $\rho=0$，则表示两个变量相互独立。

$\rho=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y}}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{{\sigma_X\sigma_Y}}$

多元正态分布的表达式为：
$f(x_1,x_2, \dots, x_k)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k|\sum|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\bf X-\bf \boldsymbol{\mu})^T\sum\nolimits^{-1}(x-\boldsymbol{\mu)}\right)$

其中， $\bf X$ 为随机变量的向量表示，而 $\boldsymbol{\mu}$ 为各个随机变量期望的向量表示。在二元情况下， $\sum$ 的表达式为：
$\sum=\left(\begin{matrix} \sigma_X^2 &\rho\sigma_X\sigma_Y\\ \rho\sigma_X\sigma_Y& \sigma_Y^2 \end{matrix} \right)$