中值定理9-极值点判断

极值点判断

1.找 $x$的定义域， $x \in D$
2.找可能是极值的点：一阶导数大于0或一阶导数不存在的点
3.利用单调性判别法：第一充分条件，第二充分条件来判断极值点

例题1： $f'(1)=0,\underset{x\to 1}{\lim}\frac{f'(x)}{\sin \pi x}=-1.问：x=1是什么点?$

解:根据极限的定义可得： $\exists \ \delta >0,当0<|x-1|<\delta 时,\frac{f'(x)}{\sin \pi x}<0$

$\begin{cases}f'(x)<0, x\in(1-\delta,1)\\f'(x)>0,x\in(1,1+\delta) \end{cases}\Rightarrow x=1为极小点$

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例题2： $xf''(x)-3xf'(x^2)=1-e^{-2x},当a>0,且x=a为极值点，问：x=a是极大值还是极小值？$

1. $f'(a)=0$
2. $af''(a)=1-e^{-2a} \Rightarrow f''(a)=\frac{1-e^{-2a}}{a}>0$
3.根据第二充分条件：一阶导数等于0，二阶导数大于0，为极小点
$\therefore x=a为极小点$

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