动态规划电路布线问题

     1、问题描述：

      在一块电路板的上、下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，要求用导线(i,π(i)) 将上端接线柱i与下端接线柱π(i)相连，如下图。其中，π(i),1≤ i ≤n,是｛1,2,…,n｝的一个排列。导线(I, π(i))称为该电路板上的第i条连线。对于任何1 ≤ i ≤ j ≤n,第i条连线和第j条连线相交的充要条件是π(i)> π(j).

π（i）=｛8，7，4，2，5，1，9，3，10，6｝

         在制作电路板时，要求将这n条连线分布到若干绝缘层上。在同一层上的连线不相交。电路布线问题要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线。换句话说，该问题要求确定导线集Nets = ｛i，π(i)，1 ≤ i ≤ n｝的最大不相交子集。    

     2、最优子结构性质：

     记N(i,j) = {t|(t, π(t)) ∈ Nets,t ≤ i, π(t) ≤ j }. N(i,j)的最大不相交子集为MNS（i,j）Size(i,j)=|MNS(i,j)|。

     (1)当i = 1时

   

    (2)当i >1时

    ① j <π(i)。此时，(i,π(i)) 不属于N(i,j)。故在这种情况下，N(i,j) = N(i-1,j)，从而Size(i,j)=Size(i-1,j)。

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    ② j ≥π(i)。此时，若(i, π(i))∈MNS(i,j)，则对任意(t, π(t))∈MNS(i,j)有t < i且π(t)< π(i)；否则，(t, π(t))与(i, π(i))相交。在这种情况下MNS(i,j)-{(i, π(i))}是N(i-1, π(i)-1)的最大不相交子集。否则，子集MNS(i-1, π(i)-1)∪{(i, π(i))}包含于N(i,j)是比MNS(i,j)更大的N(i,j)的不相交子集。这与MNS(i,j)的定义相矛盾。

     若(i, π(i))不属于MNS(i,j)，则对任意(t, π(t))∈MNS(i,j)，有t<i。从而MNS(i,j)包含于N(i-1,j)，因此，Size(i,j)≤Size(i-1,j)。

     另一方面，MNS(i-1,j)包含于N(i,j),故又有Size(i,j) ≥Size(i-1,j)，从而Size（i,j）= Size(i-1,j)。

     3、递推关系

     电路布线问题的最优值为Size(n,n)。由该问题的最优子结构性质可知，子问题最优值的递归关系如下：

     自底向上，先算上排接线柱只有1个，2个的最优布线，然后求上排接线柱有多个的最优布线。具体代码如下：

  
  
//3d8 动态规划 电路布线问题
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 10;

void MNS(int C[],int n,int **size);
void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m);

int main()
{
int c[] = { 0, 8, 7, 4, 2, 5, 1, 9, 3, 10, 6}; //下标从1开始
int **size = new int *[N+ 1];

for( int i= 0; i<=N; i++)
{
size[i] = new int[N+ 1];
}

MNS(c,N,size);

cout<< "电路布线最大不相交连线数目为："<<size[N][N]<< endl;

int Net[N],m;
Traceback(c,size,N,Net,m);

cout<< "最大不相交连线分别为："<< endl;
for( int i=m -1; i>= 0; i--)
{
cout<< "("<<Net[i]<< ","<<c[Net[i]]<< ") ";
}
cout<< endl;
return 0;
}

void MNS(int C[],int n,int **size)
{
for( int j= 0;j<C[ 1];j++)
{
size[ 1][j]= 0;
}

for( int j=C[ 1]; j<=n; j++)
{
size[ 1][j]= 1;
}

for( int i= 2; i<n; i++)
{
for( int j= 0; j<C[i]; j++)
{
size[i][j]=size[i -1][j]; //当i<c[i]的情形
}
for( int j=C[i]; j<=n; j++)
{
//当j>=c[i]时，考虑(i，c[i])是否属于MNS(i,j)的两种情况
size[i][j]=max(size[i -1][j],size[i -1][C[i] -1]+ 1);
}
}
size[n][n]=max(size[n -1][n],size[n -1][C[n] -1]+ 1);
}

void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m)
{
int j=n;
m= 0;
for( int i=n;i> 1;i--)
{
if(size[i][j]!=size[i -1][j]) //此时，（i,c[i])是最大不相交子集的一条边
{
Net[m++]=i;
j=C[i] -1; //更新扩展连线柱区间
}
}
if(j>=C[ 1]) //处理i=1的情形
{
Net[m++]= 1;
}
}
  
  

     算法MNS时间和空间复杂度为O(n^2)。Traceback时间复杂度为O(n)。程序运行结果如下：