卡特兰数的前几项（从第零项开始）：
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900,
2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,
6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
分析一下卡特兰数的递推关系
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)
进而推出通项公式： h(n) = C(2n,n)/(n+1)=C(2n, n) - C(2n, n-1);
C(0)=1,C(n)=C(n-1)((4n-2)/(n+1));
#include <stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int catalan(int n)
{
if(n==0||n==1)
return 1;
else
return (4*n-2)*catalan(n-1)/(n + 1);
}
int main()
{
for(int i=0;i<11;i++){
printf("%d\n",catalan(i));
}
return 0;
}
运行结果为
1
1
2
5
14
42
132
429
1430
4862
16796
实例应用
1. 括号化问题。矩阵链乘： P=A1×A2×A3×……×An，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种
0对括号：[空序列] 1种可能
1对括号：() 1种可能
2对括号：()() (()) 2种可能
3对括号：((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 5种可能
2. 在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用hn表之，hn即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案(图1)，故h5=5。求对于一个任意的凸n边形相应的hn
解：设Cn表示凸n边形的拆分方案数。由题目中的要求可知一个凸n边形的任意一条边都必然是一个三角形的一条边，边P1 Pn也不例外，再根据“不在同一直线上的三点可以确定一个三角形”，只要在P2，P3，……，Pn-1点中找一个点Pk(1<k<n)，与P1、Pn 共同构成一个三角形的三个顶点，就将n边形分成了三个不相交的部分(如图3所示)，我们分别称之为区域①、区域②、区域③，其中区域③必定是一个三角形，区域①是一个凸k边形，区域②是一个凸n-k+1边形，区域①的拆分方案总数是Ck，区域②的拆分方案数为Cn-k+1，故包含△P1PkPn的n 边形的拆分方案数为CkCn-k+1种，而Pk可以是P2，P3，……，Pn-1种任一点，根据加法原理，凸n边形的三角拆分方案总数为 ，同时考虑到计算的方便，约定边界条件C2=1。
3. 出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、…、n，有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？
4. 给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +…+ h(n-1)h(0)=h(n)（能构成h(n)个）
好了
