Catalan数一瞥：
关于Catalan，这是一个特殊的数列，可以方便求解许多问题。
这里，先给出Catalan数的通项公式，再举例进行进一步的分析：。
先分析它的递推关系：
题目：在一个有n+2条边的多边形中，我们可以画出n-1条不相交的对角线将多边形分为n个三角形，设所有满足条件的方案数是，定义
=1，求
、
。
分析：由题意，我们知道，有n+2条边的多边形，就相当于有n+2个点。我们又知道，因为每个点都通向两外两个相邻的点，那么，与它不相交的点就有n个点。给你们画张图就知道了。此时，n=4。（如下图）。
那我们来帮助理解一下，什么叫做n-1条不相交对角线。
那么，我们可以得到，每次在我们连接完一条不相交的对角线后，我们会发现，这条对角线把当前图行分割成了2部分。那我们设其中一块有k+2条边(这样我们就可以得到k个三角形）。同理，另一块图形我们会得到n-1-k个三角形。因为乘法原理，这样剖分的方案数就为（其中n为三角形的总数量，看前面n的介绍）。
显然，k可以从0一直变化到n-1（注意，考虑边界情况，并注意到这里的对角线不相交，所以这里不会出现重复计数）。
所以，递推式为。
这个数列就是著名的Catalan数列。
现在，我们将这玩意整成我们熟悉的带有组合数的通项公式：
这里用到了生成函数：我们很容易写出的生成函数
我们进一步计算
因为有：
所以有：
那么根据牛顿二项式有：
那么带入化简得到：
那么我们最终得到：
所以：，这就是Catalan的推导过程。
再来用第二种方式看一看Catalan数：
题目：我们有n个+1和n个-1，将它们排列起来，其中任何长度的前缀和都大于等于0。问，有几种排列方案？、
这时，答案。
解释：我们设表示满足条件的排列数的个数。再设
表示不满足条件即任何长度的前缀和有一个或多个前缀和答案小于0。那么由组合数定义我们可以知道：
+
=
。
接下来，我们试图求出。
根据题目定义，我们先设k满足某些前缀和小于0，且这个k必须要保证最小。
那么我们可以知道，前k个数中-1的数量肯定比+1的数量多1。
那么，我们根据k的定义可以知道，k是一个奇数（因为前缀和小于0了，+1与-1的数量不匹配），且前k-1个数中+1和-1的数量刚好相等（第k个数必须是-1，这样才能保证k最小）
那么，我们将前k个数取反（每一个数1变0或者0变1），就可以得到有n+1个+1和n-1个-1（因为前k个数中-1的数量比+1的数量多1）。但这个操作是可逆的。我们设k满足某些前缀和大于0，且这个k必须要保证最小。得出这个k后将前k个数取反，就可以得到原数列。
所以，不可接受的数列 就和 有n+1个+1和n-1个-1的数列是一一对应的。
所以，不可接受的数列。
所以，+
=
。
所以，=
=
。