前缀和与差分
1.前缀和：
前缀和是一种预处理，即给出n个数和m组访问，如果直接每次都在这些数列上操作，会造成超时，前缀和直接对这些访问进行预处理，最后直接得出取出结果进行计算。即O(n+m)。
相关题目：1046 Shortest Distance
AC代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#define N 100005
using namespace std;
int s[N]={0};
int main(){
int n,m,a[N]={0},x,y;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+a[i];
cin>>m;
while(m--){
int sum=0,sum1=0;
cin>>x>>y;
if(x>y) swap(x,y);
sum=s[y-1]-s[x-1];
sum1=s[n]-s[y-1]+s[x-1];
sum=min(sum1,sum);
cout<<sum<<endl;
}
return 0;
}
2.差分：
首先,给出一个问题:
给出n个数，再给出Q个询问，每个询问给出le，ri，x，要求你在le到ri上每一个值都加上x，而只给你O(n)的时间范围，怎么办？
思考一下:
如果暴力，卡一下le和ri，随随便便让你O(n^2)T成狗。
用线段树或树状数组搞一搞,抱歉,这个复杂度是O(Qlogn)的,还是会T(虽然他们解决别的题目很NB)
差分,没错,就是标题，很高兴O(n)+常数…
方法
还是用上面这个题目,假如要在le和ri上全都加一个x,很显然,这个O(n)是不可避免的,既然这样,那我们考虑把O(n*Q)变成O(n+Q).也就是说,在询问中我们不去for来加x,而是做一个标记,最后一起加上。嗯，这里暂时记住就好…
现在需要自己动笔模拟一下了！
实现
先另外开一个专门差分的数组(大小=题中的序列长度)
假如在3~8的区间上加上5,那我们在差分数组中的3位置上加上一个5(原因暂时不懂没关系,用笔先跟着模拟),再在8+1的位置上减一个5,如此操作完Q次。
假如我们只有这一次操作,开始统计答案,运用前置和的思想,cfi=cf[i-1]+cf[i].那么你会发现(如果你模拟了的话),在3~8的区间上,你已经使差分数组全部加上了5(推广到所有Q一起统计答案依旧正确)
再用O(n)的for把他们加到原序列之中去,输出!
看一下复杂度,果然:O(常数*n).
自拟题目设计代码：
下面还有一道板子题哦！！！
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#define N 100005
using namespace std;
int cf[N]={0};
int main(){
int n,m,a[N]={0};
int x,y,z;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
cin>>m;
while(m--){
cin>>x>>y>>z;
cf[x]+=z;
cf[y+1]-=z;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
cf[i]=cf[i-1]+cf[i];
a[i]+=cf[i];
cout<<a[i]<<' ';
}
cout<<endl;
return 0;
}
测试结果如下：
案例中给出5个数的数列，进行了3次操作，每次操作一个范围。
下面给出一道例题：
牛客北京信息科技大学第十一届程序设计竞赛（重现赛）：andy种树
这就是一道标准的差分问题，也可以说是模板了。
题目描述：
链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/940/I
来源：牛客网
题目描述
andy在他的庄园里种了n棵树，排列成一排，标号为1到n。最开始的时候n棵树的高度都是0，也就是种子刚刚被埋下，树还没有长出来。
andy会一种魔法，他每使用一次魔法，就可以让树标号落在连续区间[l, r]里的树的高度增加1。他可以使用q次这种魔法，然后他很好奇，在使用了q次魔法之后，他的所有树的高度分别是多少呢？
输入描述:
第一行输入两个整数n，q。(1<= n, q <= 1e5)
接下来q行，每行输入两个整数l, r(l <= r)，表示andy让标号落在区间[l, r]里的数高度都加1
输出描述:
输出有一行n个整数，每个整数后面有空格。输出末尾没有换行
第i个数表示第i棵树的高度
示例1
输入
复制
10 3
1 3
2 4
3 3
输出
复制
1 2 3 1 0 0 0 0 0 0
说明
andy种了10棵树
第一次使用魔法使得1、2、3棵树的高度增加1,
所有树的高度为
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
第二次使用魔法使得2、3、4棵树的高度增加1，
所有树的高度为
1 2 2 1 0 0 0 0 0 0
第三次使用魔法使得第3棵树的高度增加1
所有树的高度为
1 2 3 1 0 0 0 0 0 0
代码展示：
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
#define N 10001
#define maxn 100005
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int p=109;
typedef long long ll;
int main(){
int n,q,f[maxn]={0},l,r;
cin>>n>>q;
while(q--){
scanf("%d%d",&l,&r);
f[l]++;
f[r+1]--;
}
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i]+f[i-1];
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",f[i]);
return 0;
}
