差分与前缀和

差分与前缀和两个互补？的概念

前缀和的差分值为原序列差分的前缀和也为原序列

这个是非常基础的相信大家都会。

首先来讲前缀和前缀和这个东西大家肯定都会用这里只提一下二维前缀和应该怎么用

令\(val[i][j]\)为当前节点的值(一般来说是\(1*1\)的格子），\(sum[i][j]\)表示当前点的前缀和

那么根据容斥原理（容斥原理真的好难，但这个手玩一下就可以发现了）

\(sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+val[i][j]\)

如果要求\(r*r\)的格子的值呢

\(val[i][j]=sum[i][j]-s[i-r][j]-s[i][j-r]+s[i-r][j-r]\)

这样就可以做板子题激光炸弹了！

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
int val[5010][5010],n,r,ans=0;
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&r);
    for(int i=1,x,y,z;i<=n;i++){
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
        val[x+1][y+1]=z;
    }
    for(int i=1;i<=5001;i++)
        for(int j=1;j<=5001;j++)
            val[i][j]+=val[i-1][j]+val[i][j-1]-val[i-1][j-1];
    for(int i=0;i+r<=5000;i++)
        for(int j=0;j+r<=5000;j++)
            ans=max(ans,val[i+r][j+r]-val[i+r][j]-val[i][j+r]+val[i][j]);
    printf("%d",ans);
}

讲完了前缀和那么我们现在来讲一讲差分

首先差分在进行区间整体修改的时候非常好用

如果采用暴力的话会对这个区间所有的数全部修改

而如果使用差分序列的话若要使区间\([l,r]\)\(+d\)

我们只需要使差分序列\(b[l]+d\),\(b[r+1]-d\) 就可以了从而将区间操作改为单点操作降低复杂度和难度

IncDec Sequence

这道题要使的所有的数相同，相当于使得除了差分序列的\(b[1]\) 其余全部为0

那么这个时候我们考虑如果要使的操作次数少首先明确每一次操作都会造成一个+1操作和一个-1操作

那么我们只需要求得\([2,n]\)这个区间负数的和的绝对值p和正数的和q

如果\(p!=q\) 显然需要与\(b[1]\)进行差分

然后\(ans=min(p,q)+|p-q|\)

关于其值的可能性因为保证序列所有数都相同的话相当于求\(b[1]\)的可能性。所以\(b[1]\)的可能性为\(|p-q|+1\)

放代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
long long ans,fangan,n,a[100010],b[100010],zheng,fu;
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(long long i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        b[i]=a[i]-a[i-1];
    }
    b[n+1]=0;
    for(long long i=2;i<=n;i++){
        if(b[i]>0) zheng+=b[i];
        else fu-=b[i];  
    }
    ans=min(zheng,fu)+abs(zheng-fu);
    fangan=abs(zheng-fu)+1;
    printf("%lld\n%lld",ans,fangan);
}

差分与前缀和

差分与前缀和

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