利率与债券价值分析

真实世界中的利率

无论是实务操作还是在理论研究中，资产定价都是金融的核心问题。资产定价可以分两步，第一步是对资产未来的回报作出预测，第二步是基于对资产未来回报的预测。

广义的讲，任何资产的回报率都可以被叫做这种资产给出的利率。但是利率一词，一般特指债务合约（如债券、银行存款等）给出的回报率。央行可以较为精确的调控银行间市场的短期利率，由于所有资产的回报率都是相互联系的（以后会介绍到），所以央行对短期利率的调控会影响到各类资产的定价。

近年来，随着我国利率市场化改革的推进，商业银行在制定存贷款利率方面有了更大的自由度。以前是商业银行必须按照央行公布的存贷款基准利率来设定。后来，可以有一个浮动范围，并且浮动的范围也逐渐放大。在2013年7月20日，人民银行宣布取消贷款利率浮动限制，商业银行可以自由设定贷款利率。而在2015年10月22日，人民银行又取消了存款利率的浮动限制，存款利率也可以完全自由浮动。不过央行仍然对商业银行施加又行政性的调控（窗口指导），从而影响商业银行设定存贷款利率的行为。

上一讲说过，银行间市场（存款类金融机构）是全社会资金的源头。在银行间市场内，包括银行在内的金融机构相互拆借资金，调节各自头寸的余缺。这种相互的拆借资金，在我国一般是通过回购(repo)完成。

头寸（position）指的是个人或实体持有或拥有的特定商品、证券、货币等的数量。汉语将其翻译为“头寸”，源于旧社会作为货币的“袁大头”每十个摞起来为一寸。

我们以质押式回购来说明回购的过程：
银行A向银行B借入10亿元，A就是资金的融入方，B是资金的融出方。在交易中，A向B质押一定的债券以换取B提供的资金，并承诺在未来某个时间内，A向B归还本息。如果到期无法偿还资金，质押债券由B获得。
银行间通过回购来做资金的拆借，期限都很短，一般集中于隔夜（1天）和7天。银行间市场的隔夜和7天回购利率就成为了衡量我国金融市场短期资金面松紧程度的关键指标。

我国银行间市场长期利率的基准是10年期国债收益率。一般认为国债不存在违约风险，所以国债利率是其他债券定价的标杆。除了风险度上占优外，投资者从国债上得到的利息是免税的，所以在同一期的债券利率中，国债收益率也是最低的。

其他债券都包含一定的信用风险，这些债券收益率与无风险利率之间的差异就是信用利差(credit spread)，也可以广义的叫做风险溢价(risk premium) 。市场中又专门的评级机构基于债券本身和发债主体的状况来做信用评级（不可全信）。在我国，最高为AAA。AA的债券收益率是一个较有代表性的风险利率。如果长期低于AA，愿意投资的机构数量就会大大下降。

以上内容都是浅尝辄止，如果要了解我国债券市场的详细内容，再读一本书也不过分。

计息习惯

计息，看上去简单，但其实内有陷阱。

按照利息是否计入本金而生息，可分为单利和复利。

单利
如果把本金A存n年，且每年的利率都是r，最后能得到的金额是：
$A(1+nr)$

随着市场化改革的推进，现在很难找到单利计息的地方了。

复利
在复利的情况下，一定的利率能产生多少的利息就不一定了，要取决于复利的次数。

来看一个例子，当我们说“一年期利率是10%”时，究竟该付多少利息实际上是不清楚的。
如果是一年付息1次，那么年末能够连本带息收到110元。如果一年复利2次，即半年付息一次，那么：
第一，随着付息的周期变短，单位周期内的利率相应下降，半年应该是5%而不是10%。
第二，上半年付息会被并入本金，在下半年开始获得利息。

在这种情况下，年初的100元到年末会变成：
$100 \times (1+5\%)^2=110.25$

如果每年复利m次，在本金A的情况下，存n年，年利率为r，其公式为：
$A(1+\frac{r}{m})^{mn}$

很容易看出来，复利次数m越大，公式的结果越大。这是从数学公式上得出的结论，直接理解也很简单，复利的频率越高，利息收入越能及时开始产生利息。

有一种特殊的情况叫做连续复利，即每年计复利的频率无限大。这种情况下，每一瞬间获得的利息收入都会立即产生利息。其公式为：
$Ae^{nr}$， $e$为自然常数。

72法则
在计算复利的时候，如果需要计算多少年把本金翻番，只需要用72除以年利率，比如年利率6%，72/6=12，所以大约12年就能把本金翻番。如果通货膨胀是6%，大约12年你的钱只值现在的一半。
这个数字的数学推导在于对用每年复利一次，要求数量翻番，即 $(1+r)^n=2$，两边取对数求解，最后 $n=ln2$约等于0.693。所以更近似的是69.3法则。

余额宝利息计算。
说的是余额宝计算利息，实际上余额宝不使用利息。余额宝是货币基金，并不是算利息，收益也不是固定的。货币基金每天会公布一个“万份收益”，比如你账户里有6w，万份收益1元，那你今天的收益就是6元。
那七日年化利率是什么呢？
设七日年化收益率为5%，现有10000元投入到宝类理财产品中，那么每天能拿到多少收益呢？每年拿到的收益是多少？每万份收益又和七日年化收益率有什么关系呢？
虽说是“七日年化收益率”，其实指的还是一年的收益率，只是不存在利息，所以以七日内的每日收益近似的计算年收益率。注意是年收益率。余额宝是每日结收益的。
比如，10000元按照5%的年收益率算的话，一年之后可以得到10000*5%=500元！而每日收益为500/365=1.37元！
而每万份收益指的就是每万元每天的收益，即1.37元。

金融决策

现值与贴现

前面利息计算中，所问的问题是如果按照某个年利率进行投资，在某个时期能拿到多少钱。这个问题也可以反过来问：在某个利率下，为了在未来某个时期拿到一定数额的资金，现在应该准备多少钱。

可以用公式严格的描述这两个问题。我们用FV表示未来值(future value，也称终值)，用PV表示现值(present value)，在每年一次复利下有：
$FV=PV(1+r)^n$或者 $PV=\frac{FV}{(1+r)^n}$
在连续复利下，上面两个式子变为：
$FV=PV\times e^{rn}$或者 $PV=FV \times e^{-rn}$

上面的式子清楚的表明了，同样数额的资金在不同的时间，其价值是不一样的。所以利率又被称为资金的时间价值。用利率来计算未来一笔资金在当前的价值，就叫做贴现(discount)。

净现值法则

一项金融投资必然会在不同时间点带来或正或负的现金流。由于不同时间的资金价值是不一样的，所以**要看一项投资是否值得，显然不能简单的把现金流加减起来看正负，而是需要把不同时间的现金流全部都贴现到现在来，然后计算所有现金流的净现值(net present value，NPV)。**净现值为正的项目是值得投资的。

举个例子。有一个投资项目在初始的时候需要支付100元，但会在1年、2年和3年后，分别带来30元、60元和40元的收入。用时间线表示如下：

如果3年间的年利率都为10%（设定基准收益率），且每年复利一次，那么这个项目的净现值为：
$NPV=-100+\frac{30}{1+10\%}+\frac{60}{(1+10\%)^2}+\frac{40}{(1+10\%)^3}=6.9$
净现值为正，值得投资。

但倘若年利率变为20%，那么净现值就变成：
$NPV=-100+\frac{30}{1+20\%}+\frac{60}{(1+20\%)^2}+\frac{40}{(1+20\%)^3}=-10.2$
净现值为负，不值得投资。

之所以会有这样的变化，是因为给定的基准利率越大，站在现在来看，未来那些正的现金流的价值就越小，项目的净现值因而变小。

净现值就是给定基准利率，看以后收益是否值得现在付出的参考。

内部收益率法则

所谓内部收益率(internal rate of return,IRR)，是使得项目净现值NPV恰好为0的利率。

要注意，内部收益率是对项目现金流状况的一个描述指标，与市场利率不是一回事。还是以之前的项目为例，也就是把10%的位置替换为IRR。
$-100+\frac{30}{1+IRR\%}+\frac{60}{(1+IRR\%)^2}+\frac{40}{(1+IRR\%)^3}=0$
内部收益率一般无法显式解出，一般会采用试错的方式，先猜一个大概的IRR值，如果净现值结果为正，说明猜的IRR太小了，否则就太大了。本例中IRR=13.7%。

也就是可以用IRR来做金融决策，与基准利率对比。比如如果项目IRR是13.7%，当市场利率是10%的时候，项目就值得投资。

再投资风险

在计算IRR的时候，有几个潜在的假设：要求持有投资项目直至到期；不存在违约风险；再投资的收益率与项目收益率一致。

我们看上面的例子：
$-100+\frac{30}{1+IRR\%}+\frac{60}{(1+IRR\%)^2}+\frac{40}{(1+IRR\%)^3}=0$
可变形为：
$100\times (1+IRR)^3=30\times (1+IRR)^2+60\times (1+IRR)+40$

由上式可知，在用IRR计算未来终值的时候，假定了项目中间的现金流都能以项目自身的IRR水平获得回报。**但完全可能的是，项目中间支付的现金找不到其他能够达到项目IRR水平的投资机会。**这时候，用IRR来计算未来终值就不正确。

做一个最极端的假设，项目第一年和第二年得到的回报被再次投资在零回报的资产上。这样当前投入100元在3年后就只能变成130元( $=30+60+40$)，而不是IRR计算出来的150元( $=100\times (1+13.7\%)^3$)。

这就是项目的再投资风险，对于产业投资来说，再投资风险一般可以忽略，因为当你投资建起来一个企业，把这个企业产生的现金流再投入到这个企业中一般是可行的。但对于债券投资来说，再投资的风险就不可忽略。

债券价值初步分析

债券未来的现金流（本息支付）在发行债券的时候已经列明，投资者似乎只要简单计算出债券的收益率和价格就行了。但是，仅仅计算债券收益率就是困难的事情，中间牵涉了好几个相互联系且不尽相同的利率概念。

在进入详细分析前，我们先来做两点说明。第一，在以下分析中，我们是基于两只债券的已知本息支付情况和价格信息来计算各种利率指标的。我们的目的是基于这些已知条件，在计算不同利率的过程中，找出刻画债券收益率的指标，计算出用来给未来现金流贴现的贴现率，萃取出债券市场对未来利率走势的预期，并以之来给新的债券定价（相对定价），并在债市中发觉投资机会。
第二，在下面讨论中，完全不涉及风险的维度。我们所讨论的是无风险的国债，所计算的利率是无风险的利率。采用无风险，简化讨论。

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到期收益率(yield)

债券投资的内部收益率IRR又一个特殊的名字，叫做债券的到期收益率(yield to maturity) ，它假定持有人持有债券到期。

可以用计算内部收益的方式来计算债券到期收益率。

上述的国债，在期限2年时，这个2年期的付息国债，期面值是100元（即2年后到期会支付100元），并且每年会支付5元的票息(coupon)。票息与债券面值的比值为票息率(coupon rate)。但是这个票息率并不是债券的收益率，市场不管如何变化，票息率是固定的，因为其国债面值和票息是固定的。我们常说的债券收益率是债券的到期收益率。

假设我们买这个2年期的付息国债，计算其到期收益率（实质上也就是计算IRR）:
$-97+\frac{5}{1+y}+\frac{100+5}{(1+y)^2}=0$
计算出来， $y=6.65\%$，这便是2年期国债的收益率。

再次强调下，由于再投资风险，债券到期之前产生的利息收入投入到市场后，可能无法获得这只债券那么高的收益率，所以债券到期时所有现金流的终值不一定等于 $97\times (1+6.65\%)^2$。

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即期利率(spot rate)

前面我们计算出了2年期国债的到期收益率，现在要问，如果计算两年后一笔钱的现值，是否该用这个到期收益率来贴现呢？答案是否定的，这是因为在计算净现值的时候，我们使用的折现率的含义是，未来某个时点一定数量的资金，相当于现在多少数量的资金。也就是对比两个时间点资金价值。在上述例子中，2年期国债含有3个时间点的现金流，所以这个2年期国债的收益率不是用来做净现值计算的恰当贴现利率。

恰当的贴现利率是即期利率(spot rate)。即期利率也被称为零息利率(zero rate) 。所谓即期利率，是现在投入资金，直到最后一天才获得现金支付的情况下，所得到的收益率。

零息债券的收益率就是即期利率。零息债券是仅在到期日支付面值，期间不支付仍和利息的债券。零息债券的期限一般不超过一年，并且在发行时都是折价发行的，这个折价部分就隐含了债券带来的回报率。比如，一张一年后到期的面值100元的零息债券，现在以95元的价格出售，其利率是 $\frac {100}{95}-1=5.26\%$。
由于零息债券只有现在和到期日的现金流，所以它的利率就是即期利率。

现实世界中，超过1年期的国债都是附息债券。这种债券的收益率不是即期利率了。一种常用的办法是票息剥离法(bootstrap method) 计算各期限的即期利率。

仍然用前面的例子。
2年期国债在第一年会付票息5元，第二年付票息5元和面额100元。那么在这只债券97元的价格中，有一部分是第一年票息用第一年的即期利率折现的现值，剩余部分是第二年年末支付的票息和面值对应的即期利率折现的现值。
第一年零息利率是 $r_1=5.26\%$
所以列方程可得第二年即期利率。
$97=\frac{5}{1+5.26\%}+\frac{100+5}{(1+r_2)^2}$
得 $r_2=6.69\%$

对于期限更长的国债，也是用这种递推的方式计算各个期限的即期利率。

现在假设市场上还有第三只债券，面值100元，两年到期，按年付息，票息率6%。

有了前面的即期利率，我们可以算出债券价格应该等于：
$P_3=\frac{6}{1+5.26\%}+\frac{100+6}{(1+6.69\%)^2}=98.83$

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远期利率(forward rate)
为什么不同期限的即期利率是不一样的？上面的例子中，1年期即期利率是5.26%，2年期即期利率是6.69%（都是年率）。为什么差别会这么大？原因在于市场预期现在和1年后的1年期即期利率不一样。

考虑如下两种投资策略。第一种，将100块钱用当前2年期即期利率连存两年：
$100\times (1+1.69\%)^2=113.8$
第二种，将100块钱和一年后的1年期即期利率连滚两年，即连买两年1年期零息债券。我们用fr来代表一年后的1年期即期利率，如果不存在套利机会的话，那么两种投资策略的终值应该是相同的。
$100\times (1+5.26\%)\times(1+fr)=113.8$
可得 $fr=8.13\%$

这里的fr就是站在预期一年后的立场上的1年期即期利率，市场预期在一年后，1年期即期利率会从5.26%的水平上升到8.13%，这个fr就是远期利率(forward interest rate) 。远期利率代表了市场对未来即期利率的预期。

收益率赌博。
假设投资者不认同市场的看法，相信一年后的即期利率不会上升到8.13%，而是仍然会保持在5.26%。那么他可以借短买长，具体方式如下：
我们现计算以下，假设未来两年1年期即期利率都是5.26%。这位投资者当前以97元的价格买入两年期国债，并且在第一年收到票息后，将第一年的票息购买1年期国债，这样第二年末，他会拥有：
$5\times (1+5.26\%)+105=110.26$
不过为了筹集这97元，他许诺按照未来两年的即期利率来偿还本息。也就是到了第二年末，他需要偿还:
$97\times (1+5.26\%)\times (1+5.26\%)=107.28$
通过借短买长，该投资者可以赚 $110.26-107.28=2.98$，这2.98元看起来没有什么，但是利用杠杆，微小的收益率差异能带来巨大的收益。不过如果即期利率上升到了10%，如果还用了杠杆，该投资者将血本无归。

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久期(duration)

债券的久期就是债券投资者为收到债券所提供的所有现金流平均要等待的时间。显然一个n年期的零息债券的久期就是n年。

久期的计算比较复杂，这里暂且不做介绍。
债券市场中有一种常见的投资策略叫久期策略，基于对未来利率走势的预测来调整债券组合的久期。如果投资者预期利率水平会上升，那么就缩短自己组合的久期（卖出长债）以减少组合价值下跌的幅度。如果投资者预期利率水平会下降，就拉长自己组合的久期（买入长债），尽可能多的享受利率下降带来的债券价格上升的好处。

小结

本文出现了很多利率标准，这里需要重新梳理。

我们第一个任务是给出一个较好衡量债券价格的指标。使用债券的IRR，也就是到期收益率，可以在不同的债券间进行比较。

第二个任务是找出给新债券定价的方法。使用债券的即期利率，通过票息剥离法，就能给不同的债券定价了。

第三个任务是从债券价格信息中萃取市场对未来利率走势的预期。通过计算远期利率，就可以得知其市场预期走势。

这三个任务完成后，还讨论了久期，结合久期策略简要说明了投资债券组合的策略。