4 利率

目录：

1、利率

借入方承诺给借出方的资金数量

种类：

国债收益率
投资于国库券/国债时的收益率
LIBOR
无抵押。伦敦同业银行间短期无抵押拆借利率
联邦基金利率
无抵押。美国的隔夜拆借利率
再回购利率
有抵押。金融机构将证券抵押给合约另一方，得到贷款，以后以高价买回，支付的利息是证券卖出价与买入价的差价，相应的利率即为再回购利率
“无风险”利率

2、连续复利

当复利频率趋于无穷大时对应的利率

A：资金数量
n：投资年数
m：复利频率
R:利率

1)A投资n年，按年复利，1年复利1次，投资终值 = $A(1+R)^n$
2)A投资n年，按年复利，1年复利m次，投资终值 = $A(1+\frac{R}{m})^{mn}$
3)复利频率 m 趋于∞大时，有

lim_{m \to + \infty} A (1 + \frac{R}{m})^{m n} = lim_{m \to + \infty} A (1 + \frac{R}{m})^{\frac{m}{R} \cdot R \cdot n} = A e^{R \cdot n}

$\lim_{m \to +\infty} A(1+\frac{R}{m})^{mn}=\lim_{m \to +\infty} A(1+\frac{R}{m})^{\frac{m}{R}\cdot R\cdot n} = Ae^{R\cdot n}$
假设：

R_{c}

$R_c$ :为连续复利利率

R_{m}

$R_m$ :每年m次复利利率

A e^{R_{c} \cdot n} = A (1 + \frac{R}{m})^{m n} ⟹ e^{R_{c}} = (1 + \frac{R}{m})^{m}

$Ae^{R_c\cdot n} = A(1+\frac{R}{m})^{mn}\implies e^{R_c } = (1+\frac{R}{m})^{m}$

⟹ R_{c} = m l n (1 + \frac{R_{m}}{m})

$\implies R_c=mln(1+\frac{R_m}{m})$

⟹ R_{m} = m (e^{\frac{R_{c}}{m}} - 1)

$\implies R_m=m(e^{\frac{R_c}{m}}-1)$

∵ lim_{m \to + \infty} m l n (1 + \frac{R_{m}}{m}) = m \cdot \frac{R_{m}}{m} = R_{m} a n d lim_{m \to + \infty} m (e^{\frac{R_{c}}{m}} - 1) = m \cdot \frac{R_{c}}{m} = R_{c}

$\because \lim_{m \to +\infty} mln(1+\frac{R_m}{m}) = m\cdot \frac{R_m}{m}=R_m \quad and \quad \lim_{m \to +\infty} m(e^{\frac{R_c}{m}}-1)=m\cdot \frac{R_c}{m} =R_c$

∴ R_{c} = R_{m}

$\therefore R_c = R_m$

3、n年的零息利率（也叫n年期的即期利率）

投资资金n年后所得的收益率，利息/本金在n年年末支付给投资者，期间不支付任何利息收益

4、债券定价

债券理论价：债券持有人在将来所收取现金流进行贴现后的总和
债券收益率：使债券所有现金流贴现后的价值等于市场价格的贴现率

5、远期利率合约FRA

远期利率:从今天零息利率曲线计算而应用于将来一段时间的利率

具体来说就是：将资金A以 $R_1$ 利率投资 $T_1$ 年再以 $R_F$ 利率投资 $T_2-T_1$ 年，总所得为Q；将资金A以利率 $R_2$ 投资 $T_2$ 年，总所得也为Q

A e^{R_{1} T_{1}} e^{R_{F} (T_{2} - T_{1})} = A e^{R_{2} T_{2}}

$Ae^{R_1T_1}e^{R_F(T_2-T_1)}=Ae^{R_2T_2}$

⟹ 远 期 利 率 R_{F} = \frac{R_{2} T_{2} - R_{1} T_{1}}{T_{2} - T_{1}}

$\implies 远期利率R_F=\frac {R_2T_2-R_1T_1}{T_2-T_1}$

FRA:场外交易。在交易中，在将来某一时间段一方将一种利率（常为Libor）与合约约定的利率交换。

若合约中约定的固定利率＞同一时期的Libor，则资金借入方需要支付给借出方：（固定利率-Libor）×面值；
若合约中约定的固定利率＜同一时期的Libor，则资金借出方需要支付给借入方：（Libor-固定利率）×面值；

定价：
$R_K:$ FRA中约定的利率
$R_F:$ $T_1、T_2$ 之间的Libor利率
R:无风险利率
L：合约的本金
FRA的价值： $=L(R_K-R_F)(T_2-T_1)\cdot e^{-{R}{T_2}}$

6、久期

久期

投资债券时，投资者收到所有现金流所要等待的平均时间

B：债券价格
y：收益率（连续复利）
D：债券久期
$c_i$ : $t_i$ 时刻支付给持有人的现金流

\begin{matrix} (1) & B = \sum_{i = 1}^{n} c_{i} e^{- y t_{i}} \end{matrix}

$B=\sum_{i=1}^n c_ie^{-yt_i}\tag1$

\begin{matrix} (2) & D = \frac{\sum_{i = 1}^{n} t_{i} c_{i} e^{- y t_{i}}}{B} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} [\frac{c_{i} e^{- y t_{i}}}{B}] \end{matrix}

$D=\frac{\sum_{i=1}^n t_ic_ie^{-yt_i}}{B}=\sum_{i=1}^n t_i[\frac {c_ie^{-yt_i}}{B}]\tag2$
中括号表示

t_{i}

$t_i$ 时刻支付的债券现金流的现值除以债券价格。

当收益率有微小变化时，有 $\Delta B=\frac{dB}{dy}\Delta y$ 成立，再根据(1)式对y求导，有

\begin{matrix} (3) & Δ B = - Δ y \sum_{i = 1}^{n} t_{i} c_{i} e^{- y t_{i}} \end{matrix}

$\Delta B=-\Delta y\sum_{i=1}^n t_ic_ie^{-yt_i}\tag3$
再根据（2）式有，

\begin{matrix} (4) & Δ B = - B \cdot D \cdot Δ y \end{matrix}

$\Delta B=-B\cdot D\cdot \Delta y\tag4$
或

久 期 D = - \frac{Δ B}{B \cdot Δ y}

$久期D=-\frac{\Delta B}{B\cdot \Delta y}$

修正久期
当收益率y不是连续复利时，在y为1年m次复利情况下 $\Delta B=-\frac {B\cdot D\cdot \Delta y}{1+\frac{y}{m}}$
$修正久期 D^{*} = - \frac{D}{1 + \frac{y}{m}}$ $修正久期D^*=-\frac{D}{1+\frac{y}{m}}$

7、利率期限结构理论

是什么因素决定零息利率曲线的形状？
- 预期理论：对应于将来某一段时间的远期利率 = 这一段时间在未来的即期利率的期望值。
- 市场分割理论：短期、中期、长期利率之间没有关系。
- 流动性偏好理论：假设大多数个人/公司喜欢借长放短。会造成远期利率高于将来零息利率期望值，所以我们看到的收益率曲线往往是向上倾斜的。