Harry And Math Teacher

一、题目

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题目描述
有 $n$层楼，每层有两个门（编号为 $1/2$）， $i$层到 $i+1$的门两两相通，有下列操作：

• 把 $i$层到 $i+1$层的 $x,y$两个门的状态改变（联通变成不同，不同变成联通）
• 询问 $x$到 $y$的方案数，可以从 $x$任意门入， $y$任意门出。

数据范围
多组数据， $1\leq n,m\leq 50000$

二、解法

考虑 $dp[i][0/1]$也就是到了 $i$层的 $1/2$号门的方案数， $pd[i][j]$表示 $i,j$号门之间有无通路，有下列转移：
$dp[i][0]=pd[0][0]\times dp[i-1][0]+pd[1][0]\times dp[i-1][1]$ $dp[i][1]=pd[0][1]+dp[i-1][0]+pd[1][1]\times dp[i-1][1]$上述转移很像矩阵乘法的递推，我们可以把 $[x,y-1]$之间的矩阵乘起来，然后对系数求和就是方案数。

然后发现可以用线段树优化，第一个操作就是一个单点修改，第二个操作就是一个区间查询，时间复杂度 $O(n\log n)$。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define LL long long
const LL MOD = 1e9+7;
const LL MAXN = 100005;
LL read()
{
	LL x=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
	while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x*flag;
}
int n,m;LL x,y;
struct Matrix
{
	LL a[3][3];
	Matrix() {memset(a,0,sizeof a);}
	Matrix operator * (const Matrix &B)
	{
		Matrix R;
		for(LL i=1;i<=2;i++)
			for(LL j=1;j<=2;j++)
				for(LL k=1;k<=2;k++)
					R.a[i][k]=(R.a[i][k]+a[i][j]*B.a[j][k])%MOD;
		return R;
	}
}I,tr[MAXN*4];
void build(LL i,LL l,LL r)
{
	if(l==r)
	{
		tr[i].a[1][1]=tr[i].a[1][2]=tr[i].a[2][1]=tr[i].a[2][2]=1;
		return ;
	}
	LL mid=(l+r)/2;
	build(i<<1,l,mid);
	build(i<<1|1,mid+1,r);
	tr[i]=tr[i<<1]*tr[i<<1|1];
}
void updata(LL i,LL l,LL r,LL id)
{
	if(l==r)
	{
		tr[i].a[x][y]^=1;
		return ;
	}
	LL mid=(l+r)/2;
	if(mid>=id)
		updata(i<<1,l,mid,id);
	else
		updata(i<<1|1,mid+1,r,id);
	tr[i]=tr[i<<1]*tr[i<<1|1];
}
Matrix query(LL i,LL l,LL r)
{
	if(x>r || l>y || l>r) return I;
	if(x<=l && r<=y) return tr[i];
	LL mid=(l+r)/2;
	Matrix res=query(i<<1,l,mid);
	return res*query(i<<1|1,mid+1,r);
}
signed main()
{
	//freopen("fuck.in","r",stdin);
	//freopen("mine.out","w",stdout);
	I.a[1][1]=I.a[2][2]=1;
	while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
	{
		n--;
		build(1,1,n);
		while(m--)
		{
			LL op=read();
			if(op==1)
			{
				LL p=read();x=read();y=read();
				updata(1,1,n,p);
			}
			else
			{
				x=read();y=read();
				if(x>y) swap(x,y);
				y--;
				Matrix t=query(1,1,n);
				printf("%lld\n",(t.a[1][1]+t.a[1][2]+t.a[2][1]+t.a[2][2])%MOD);
			}
		}
	}
}